"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Синус острого угла — число, которое показывает отношение катета напротив этого угла к гипотенузе прямоугольного треугольника. По синусу можно находить неизвестные стороны, а при известных значениях — определять угол и проверять вычисления. Отношение не зависит от размера треугольника: у подобных треугольников с одинаковыми углами синусы равны. Для острого угла синус больше нуля и меньше единицы; полезно знать значения синусов 30°, 45° и 60°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Острый угол — угол, величина которого больше 0° и меньше 90°. В этой теме рассматривают именно такие углы прямоугольного треугольника, потому что для каждого из них можно определить отношение сторон и назвать его синусом. Обычно угол обозначают греческой буквой α.
Прямоугольный треугольник — треугольник, один угол которого равен 90°. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона — гипотенузой. Эти названия помогают точно выбрать стороны для вычисления синуса.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла; она длиннее каждого катета. Её положение не зависит от того, какой острый угол выбран. Поэтому при записи отношения важно не спутать гипотенузу с катетом.
Синус острого угла — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе. Если катет напротив угла α обозначить a, а гипотенузу — c, то пишут sin α = a/c. Определение нужно, чтобы находить стороны треугольника и сравнивать углы.
Чтобы выбрать нужный катет, сначала отметьте острый угол, синус которого требуется найти. Катет, который образует этот угол вместе с гипотенузой, прилежащий; другой катет лежит напротив него и называется противолежащим. Гипотенузу находят отдельно: она всегда лежит напротив прямого угла, поэтому её не определяют по длине или по выбранному острому углу.
Синус записывают как отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = a/c. Здесь a — длина стороны напротив α, а c — длина гипотенузы. Такое отношение удобно, потому что оно сопоставляет две стороны, положение которых относительно угла известно; порядок важен, и первым указывают именно катет.
Представим два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом α. Вторые острые углы у них тоже равны, ведь в каждом треугольнике сумма углов равна 180°, а один угол прямой. Значит, треугольники подобны: при увеличении всех сторон в одно и то же число раз катет и гипотенуза меняются одинаково, а их отношение остаётся прежним. Поэтому sin α зависит от величины угла, а не от размеров треугольника.
В прямоугольном треугольнике противолежащий катет короче гипотенузы, а длины сторон положительны. Если разделить положительное число на большее, получится число больше нуля, но меньше единицы. Поэтому для любого острого угла выполняется 0 < sin α < 1; значение больше единицы указывало бы на ошибку в выборе сторон или вычислении.
Для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить значения синуса: ½, √2/2 и √3/2 соответственно. Если известны угол и гипотенуза, противолежащий катет находят умножением гипотенузы на синус; если известны обе стороны, их отношение можно сверить с таблицей. Для угла 45° катеты равны, а синус одного острого угла можно связать с косинусом другого: sin α = cos(90° − α).
| Что рассматривается | Формула или значение | Геометрический смысл |
|---|---|---|
| Синус угла α | sin α = противолежащий катет / гипотенуза | Отношение стороны напротив угла к самой длинной стороне |
| Границы значения синуса | 0 < sin α < 1 | Противолежащий катет меньше гипотенузы |
| Синус угла 30° | sin 30° = 1/2 | Противолежащий катет вдвое меньше гипотенузы |
| Синус угла 45° | sin 45° = √2/2 | Катеты равны |
| Синус угла 60° | sin 60° = √3/2 | Значение больше, чем у синуса 30° и 45° |
| Связь с дополнительным острым углом | sin α = cos(90° − α) | Синус одного острого угла связан с косинусом другого |
Сначала найдите в таблице нужный угол или отношение сторон и проверьте, что стороны выбраны относительно именно этого угла. Для неизвестного катета используйте значение синуса вместе с известной гипотенузой. Границы 0 и 1 помогают быстро заметить неверный результат.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а противолежащий катет относительно угла A равен 6 см. Найдите sin A.
Ответ: sin A = 0,6.
Задача 2. В прямоугольном треугольнике угол A равен 30°, гипотенуза равна 14 см. Найдите противолежащий катет.
Ответ: 7 см.
Задача 3. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу A, равен 8 см, а гипотенуза — 16 см. Определите угол A.
Ответ: A = 30°.
В числитель иногда подставляют прилежащий катет, потому что смотрят на стороны, не зафиксировав выбранный угол. В результате находят другое отношение, не синус данного угла. Перед вычислением отметьте угол и спросите, какая сторона лежит строго напротив него; полезно подписать катет на чертеже.
Гипотенузу могут принять за просто длинный катет, особенно если треугольник нарисован не в масштабе. Но гипотенуза определяется не внешним видом, а положением напротив прямого угла. Найдите прямой угол и сторону напротив него — это и будет гипотенуза.
Если разделить гипотенузу на катет, получится обратное отношение, которое больше 1. Ошибка возникает, когда формулу запоминают как «две стороны» и забывают их порядок. Проверьте, что в числителе стоит противолежащий катет, а в знаменателе — гипотенуза; значение синуса острого угла обязано быть меньше 1.
Нельзя считать, что противолежащий катет остаётся тем же для обоих острых углов. Его название зависит от выбранного угла: одна и та же сторона может быть противолежащей одному углу и прилежащей другому. Перед использованием формулы заново выберите угол и определите стороны относительно него.
Для изучения синуса нужно знать, как распознать прямоугольный треугольник, где находятся его катеты и гипотенуза, а также что такое подобные треугольники. Подобие объясняет, почему отношение сторон не меняется при увеличении или уменьшении треугольника. Эти знания помогают понять определение, а не просто запомнить формулу.
Синус — одно из отношений сторон прямоугольного треугольника. Вместе с ним изучают косинус, тангенс и котангенс острого угла; каждое отношение использует стороны по своему правилу. Также синус применяют при решении прямоугольных треугольников: по углу и стороне находят другую сторону.
Тригонометрические отношения полезны не только в задачах с готовым чертежом. С их помощью можно измерять недоступные расстояния, например высоту предмета или ширину участка, используя известный угол и измеренную сторону. Синус связывает измерения с геометрией и позволяет вычислять длину без непосредственного измерения.
Как понять, какой катет является противолежащим?
Сначала выберите острый угол. Противолежащим ему будет катет, который лежит напротив этого угла и не образует его.
Почему в формуле синуса в знаменателе стоит именно гипотенуза?
Синус по определению — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Гипотенуза одна и та же для обоих острых углов, поэтому по этому отношению удобно сравнивать треугольники.
Может ли синус острого угла быть больше 1?
Нет. Противолежащий катет короче гипотенузы, поэтому их отношение меньше 1. Оно также больше нуля, так как обе стороны имеют положительную длину.
Почему у двух разных треугольников с одним и тем же углом получается одинаковый синус?
Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны: их соответствующие углы равны. При подобии все стороны меняются в одинаковое число раз, поэтому отношение катета к гипотенузе сохраняется.
Как найти сторону треугольника, если известны угол и другая сторона?
Если известны угол и гипотенуза, умножьте гипотенузу на синус угла: противолежащий катет = гипотенуза · sin угла. Если известен катет, можно составить уравнение из определения синуса и выразить нужную сторону; для расчёта используйте таблицу или калькулятор.
§ 1. Синус острого угла
