§ 2. Косинус острого угла

Определения и обозначения

Острый угол прямоугольного треугольника — угол, величина которого больше 0° и меньше 90°. В каждом прямоугольном треугольнике два острых угла, и каждый из них можно рассматривать отдельно. Это определение помогает понять, для каких углов вводится косинус в этой теме.

Прилежащий катет — катет, образующий данный острый угол. У треугольника два острых угла, поэтому один и тот же катет может быть прилежащим к одному углу и противолежащим к другому. Перед вычислением нужно точно указать, о каком угле идёт речь.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она является самой длинной стороной треугольника. Умение находить гипотенузу важно, потому что именно её сравнивают с прилежащим катетом при вычислении косинуса.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе; обозначается cos α. Буква α обозначает угол, косинус которого ищут, а стороны берут именно относительно него. Это отношение показывает, какую часть гипотенузы составляет прилежащий катет.

Как это устроено

Для определения косинуса выбирают отношение прилежащего катета к гипотенузе, потому что обе стороны связаны с рассматриваемым углом: катет образует его, а гипотенуза задаёт размер треугольника. Такое отношение удобно сравнивать в разных треугольниках. Если вместо прилежащего взять противолежащий катет, получится другое отношение — синус, а не косинус.

Значение косинуса не зависит от размеров треугольника, а определяется только величиной угла. Если увеличить или уменьшить прямоугольный треугольник, сохранив угол, его соответствующие стороны изменятся в одинаковое число раз. Поэтому отношение катета к гипотенузе останется прежним: такие треугольники подобны, а у подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны.

Косинус острого угла больше нуля, потому что длины сторон треугольника положительны. Он меньше единицы, поскольку прилежащий катет короче гипотенузы, а при делении меньшей положительной длины на большую получается число между 0 и 1. Значения 0 и 1 не достигаются для острого угла: им соответствовали бы углы 90° и 0°.

Из определения можно получить формулы для неизвестных сторон. Если cos α = a/c, где a — прилежащий катет, а c — гипотенуза, то a = c · cos α: известную гипотенузу умножают на косинус. Чтобы найти гипотенузу, равенство преобразуют иначе: c = a / cos α, то есть катет делят на известный косинус.

При увеличении острого угла косинус уменьшается. У небольшого угла прилежащий катет почти равен гипотенузе, поэтому отношение близко к 1; у угла, близкого к 90°, прилежащий катет становится намного короче, и отношение близко к 0. Именно поэтому на промежутке от 0 до π/2 график косинуса идёт вниз.

Косинус острого угла: определения, свойства и табличные значения

Сначала определите, какие стороны обозначены в задаче и к какому углу относится прилежащий катет. Затем выберите строку с нужной формулой или табличным значением. Диапазон и изменение косинуса помогают проверить, разумен ли результат.

Разбор задач

В прямоугольном треугольнике прилежащий к углу α катет равен 6 см, а гипотенуза — 10 см. Найдите cos α. Здесь обе нужные стороны уже известны, поэтому можно сразу использовать определение, не находя третий катет.

1. Записываем формулу: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.
2. Подставляем данные: cos α = 6/10.
3. Сокращаем дробь на 2: cos α = 3/5 = 0,6.

Ответ: cos α = 0,6. Проверка показывает, что значение больше 0 и меньше 1, как и должно быть для острого угла.

Известно, что cos α = 0,8, а гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см. Найдите прилежащий катет. Чтобы найти сторону, нужно понять, какую величину в формуле оставляют неизвестной: здесь это числитель отношения.

1. Обозначим прилежащий катет буквой a, гипотенузу — c. Тогда cos α = a/c.
2. Выражаем катет: a = c · cos α.
3. Подставляем значения: a = 15 · 0,8 = 12 см.

Ответ: прилежащий катет равен 12 см. Результат меньше гипотенузы 15 см, поэтому он согласуется со свойством сторон прямоугольного треугольника.

Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите косинус угла, прилежащего к катету длиной 12 см. В определении нужен не второй катет, а гипотенуза, поэтому сперва найдём её. Затем выберем отношение, учитывая, что искомый угол прилегает к стороне 12 см.

1. По теореме Пифагора гипотенуза равна √(5² + 12²) = √169 = 13 см.
2. Прилежащий к указанному углу катет равен 12 см, гипотенуза — 13 см.
3. Вычисляем: cos α = 12/13.

Ответ: cos α = 12/13. Дробь положительна и меньше единицы, а значит, подходит для косинуса острого угла.

Типичные ошибки

В числитель иногда ставят противолежащий катет, потому что путают косинус с синусом. Тогда получается отношение для другой тригонометрической функции, и ответ не соответствует вопросу. Проверь себя: найди угол и отметь катет, который образует его; именно этот катет должен стоять в числителе косинуса.

Некоторые принимают один из катетов за гипотенузу, забывая, что гипотенуза лежит напротив прямого угла. Из-за этого стороны оказываются перепутаны, хотя гипотенуза всегда самая длинная. Проверь, какая сторона находится напротив значка прямого угла, и убедись, что в знаменателе стоит именно она.

Формулу косинуса применяют к непрямоугольному треугольнику, хотя определение через катет и гипотенузу дано для прямоугольного. В произвольном треугольнике нет гипотенузы, поэтому такое отношение нельзя составить по этому правилу. Перед решением проверь, есть ли прямой угол; если его нет, нужны другие сведения и методы.

Полученное значение косинуса может оказаться больше 1 или меньше 0, но ошибку порой не замечают. Обычно это означает, что перепутаны стороны, неверно преобразована формула или допущена вычислительная ошибка. Проверь знаки, подстановку и порядок деления: для острого угла результат должен быть строго между 0 и 1.

Связь с другими темами

Перед изучением косинуса нужно различать острые и прямые углы, знать катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора помогает найти недостающую сторону, если известны две другие. Эти знания позволяют сначала определить стороны, а затем составить отношение для косинуса.

Косинус — одна из тригонометрических функций острого угла. Позже вместе с ним изучают синус, тангенс и котангенс; для каждой функции важно своё отношение сторон. Сравнение этих отношений помогает не путать определения и выбирать нужную формулу.

Косинус используют, чтобы находить стороны и углы треугольников. Он также встречается в геометрии, физике и координатных задачах, где помогает описывать направления и соотношения величин. Поэтому понимание определения полезно не только для решения упражнений по алгебре.

Что запомнить

• Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
• Гипотенуза всегда является знаменателем дроби.
• Для острого угла косинус больше 0 и меньше 1.
• Чем больше острый угол, тем меньше его косинус.
• cos 30° = √3/2.
• cos 45° = √2/2.
• cos 60° = 1/2.