"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Тангенс и котангенс острого угла показывают, как соотносятся два катета прямоугольного треугольника. Чтобы найти их, не нужно знать гипотенузу: достаточно определить катеты относительно выбранного угла и разделить их длины в нужном порядке. Отношения не меняются при изменении размера треугольника, если угол остаётся прежним. Тангенс и котангенс взаимно обратны, а для дополнительных острых углов они равны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тангенс острого угла — это отношение длины противолежащего катета прямоугольного треугольника к длине прилежащего катета. Его записывают tg α, где α — выбранный острый угол. Например, если противолежащий катет равен 3, а прилежащий — 4, то tg α = 3/4. Такое обозначение помогает кратко выражать соотношение катетов, не указывая длину гипотенузы.
Котангенс острого угла — отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего. Его обозначают ctg α. Для тех же катетов длиной 3 и 4 получим ctg α = 4/3. Котангенс нужен, когда соотношение удобнее записать в обратном порядке, например если известны прилежащий и противолежащий катеты.
Тангенс и котангенс одного острого угла — взаимно обратные величины: ctg α = 1 / tg α, а tg α · ctg α = 1. Обратные величины получают, меняя местами числитель и знаменатель дроби. Эта связь позволяет найти котангенс по известному тангенсу и наоборот, не вычисляя катеты заново.
Чтобы правильно выбрать катеты, сначала отметь угол α в прямоугольном треугольнике. Напротив него находится противолежащий катет: он не касается вершины угла. Второй катет касается этой вершины и вместе с гипотенузой образует угол α, поэтому он прилежащий. Гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и в определениях тангенса и котангенса не участвует.
Отношение катетов не зависит от того, большой треугольник или маленький. Если два прямоугольных треугольника имеют одинаковый острый угол, то их вторые острые углы тоже равны, ведь сумма острых углов составляет 90°. Такие треугольники подобны: их соответствующие стороны увеличиваются или уменьшаются во столько же раз. При делении длин катетов общий множитель сокращается, поэтому отношение, а значит, и тангенс угла остаются прежними.
В тангенсе катеты стоят в отношении «противолежащий к прилежащему», а в котангенсе — наоборот. Если tg α = a/b, то ctg α = b/a, то есть ctg α = 1 / tg α. При перемножении получаем (a/b) · (b/a) = 1. Поэтому формула tg α · ctg α = 1 — не отдельное правило без объяснения, а результат сокращения двух обратных дробей.
В прямоугольном треугольнике два острых угла дополняют друг друга до 90°. Если один угол равен α, второй равен 90° − α. Катет, который противолежит α, прилежит к другому углу, а прилежащий к α катет противолежит ему. Поэтому tg α = ctg (90° − α): при переходе к дополнительному углу порядок катетов меняется.
По заданным катетам сначала выясни, какой из них противолежит выбранному углу, и раздели его длину на длину прилежащего — это тангенс. Для котангенса раздели прилежащий катет на противолежащий. Если дано только отношение, например tg α = 2/5, возможные длины катетов можно взять равными 2 и 5 либо любым пропорциональным им числам, например 4 и 10. Это отношение задаёт соотношение сторон, но не их единственные возможные длины.
| Характеристика | tg α | ctg α |
|---|---|---|
| Определение через катеты | Противолежащий катет, делённый на прилежащий | Прилежащий катет, делённый на противолежащий |
| Запись через отношение катетов | tg α = a / b | ctg α = b / a |
| Связь друг с другом | tg α = 1 / ctg α | ctg α = 1 / tg α |
| Связь с углом 90° − α | tg α = ctg (90° − α) | ctg α = tg (90° − α) |
| Значения для острого угла | Положительное число | Положительное число |
В записи a и b обозначают длины соответствующих катетов: a — противолежащего, b — прилежащего к α. Сначала выбери столбец для нужной величины, затем проверь, в каком порядке в нём стоят катеты. Строки о связи позволяют перейти от тангенса к котангенсу или рассмотреть дополнительный угол.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу α, равен 3, а прилежащий — 4. Найдите tg α и ctg α. Здесь катеты уже названы относительно нужного угла, поэтому остаётся подставить их длины в определения и сохранить порядок деления.
Задача 2. Для острого угла α известно, что tg α = 2/5. Найдите ctg α и укажите отношение противолежащего катета к прилежащему. Дробь тангенса уже записана в порядке «противолежащий к прилежащему». Чтобы найти котангенс, перевернём дробь, а отношение катетов прочитаем из определения.
Задача 3. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите тангенсы обоих острых углов и проверьте связь между ними. Для каждого угла катеты нужно определить заново: тот, который был противолежащим, при переходе к другому углу станет прилежащим.
Путать противолежащий и прилежащий катеты. Их положение определяется выбранным углом, а не длиной или расположением треугольника на странице. Ошибку легко допустить, если не отметить угол перед вычислением. Проверь себя: противолежащий катет не касается вершины выбранного угла, прилежащий касается.
Записывать tg α как прилежащий катет, делённый на противолежащий. Такой порядок даёт ctg α, поэтому тангенс и котангенс оказываются перепутаны. Обычно ошибка возникает из-за того, что ученик помнит оба названия, но не закрепил порядок дроби. Перед вычислением проговори: «тангенс — противолежащий на прилежащий».
Считать tg α и ctg α равными. Они взаимно обратны, а не равны всегда; равными обе величины могут быть, когда каждая равна 1. Так происходит, если катеты равны: отношение противолежащего к прилежащему и обратное отношение одинаковы. Проверка: перемножь найденные значения — произведение должно быть 1.
Использовать для второго острого угла отношение первого без перестановки катетов. Это неверно, потому что при переходе к другому острому углу катеты меняют роли: прежний противолежащий становится прилежащим. Ошибку провоцирует то, что стороны треугольника остаются теми же. Для проверки назови угол, затем заново определи оба катета и только после этого составь дробь.
Для работы с тангенсом и котангенсом нужно знать, где в прямоугольном треугольнике катеты и гипотенуза, а также понимать подобие треугольников. Ранее изученные синус и косинус связываются с новыми отношениями формулами tg α = sin α / cos α и ctg α = cos α / sin α. Тангенс и котангенс используют при решении прямоугольных треугольников; эти понятия также подготавливают к изучению тригонометрических функций.
Как понять, какой катет считать противолежащим, а какой прилежащим?
Сначала выбери острый угол. Катет напротив него — противолежащий, а катет, который образует этот угол вместе с гипотенузой, — прилежащий. Для другого острого угла эти роли поменяются.
Чем тангенс отличается от котангенса?
Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — обратное отношение. Поэтому для одного острого угла tg α = 1 / ctg α.
Почему тангенс и котангенс одного угла взаимно обратны?
В их дробях стоят те же длины катетов, но в разном порядке. При умножении дробей числитель и знаменатель сокращаются, поэтому tg α · ctg α = 1.
Как связаны тангенс и котангенс дополнительных углов?
Дополнительные углы в прямоугольном треугольнике — это два острых угла, сумма которых равна 90°. Для одного из них противолежащий катет другого становится прилежащим, поэтому tg α = ctg (90° − α).
Можно ли найти тангенс острого угла, если известны только два катета?
Да. Нужно определить, какой катет противолежит выбранному углу, и разделить его длину на длину прилежащего катета. Гипотенуза для этого не требуется.
§ 3. Тангенс и котангенс острого угла
