"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Тригонометрические формулы связывают синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла. Главная из них — sin² α + cos² α = 1: с её помощью находят синус или косинус, если известна другая функция. Тангенс и котангенс выражаются через отношение синуса и косинуса. Зная эти связи и условия, при которых деление возможно, можно вычислять значения и упрощать выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основное тригонометрическое тождество — равенство sin² α + cos² α = 1, связывающее синус и косинус одного угла. Квадрат синуса записывают как sin² α, то есть (sin α)². Тождество верно для любого угла и помогает находить одну из этих величин, когда известна другая.
Тангенс угла — отношение синуса угла к его косинусу: tg α = sin α / cos α при cos α ≠ 0. Это значит, что значение тангенса можно вычислить делением синуса на косинус. Условие рядом с формулой указывает, для каких углов такое деление возможно.
Котангенс угла — отношение косинуса угла к его синусу: ctg α = cos α / sin α при sin α ≠ 0. Здесь числитель и знаменатель расположены наоборот по сравнению с тангенсом. Формула позволяет находить котангенс через уже известные синус и косинус.
Тангенс и котангенс одного угла взаимно обратны, если оба выражения определены: tg α · ctg α = 1. Их произведение равно единице потому, что множители содержат одинаковые синус и косинус, но в обратном порядке. Эта связь удобна, когда известна одна из двух величин и нужно найти другую.
Чтобы получить основное тождество, представим прямоугольный треугольник с острым углом α. Пусть противолежащий катет равен a, прилежащий — b, а гипотенуза — c; тогда sin α = a / c, а cos α = b / c. По теореме Пифагора a² + b² = c², и после деления всех частей на c² получаем (a / c)² + (b / c)² = 1, то есть sin² α + cos² α = 1. Так геометрическое свойство треугольника превращается в связь между двумя функциями угла.
Если известен синус, из тождества выражаем квадрат косинуса: cos² α = 1 − sin² α. После извлечения квадратного корня получаем cos α = ±√(1 − sin² α); два знака появляются потому, что и положительное, и отрицательное числа могут иметь один квадрат. Для острого угла косинус положителен, поэтому выбираем знак плюс. При другом угле знак определяют по его расположению, а не по одному лишь значению синуса. Аналогично, sin α = ±√(1 − cos² α), и знак синуса тоже выбирают с учётом угла.
Определения тангенса и котангенса удобно получить, разделив синус на косинус или косинус на синус. Но частное имеет смысл лишь при ненулевом знаменателе: поэтому tg α определён только при cos α ≠ 0, а ctg α — при sin α ≠ 0. Если знаменатель равен нулю, делить на него нельзя, и соответствующее значение не определено. Проверка этих условий нужна до подстановки чисел и до преобразования дробей.
Подставим определения в произведение тангенса и котангенса: (sin α / cos α) · (cos α / sin α). При sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0 одинаковые множители можно сократить, и остаётся 1. Оба ограничения необходимы: если хотя бы один из знаменателей равен нулю, один из множителей не определён. Поэтому равенство tg α · ctg α = 1 имеет смысл только при одновременной определённости тангенса и котангенса.
При упрощении выражений основное тождество помогает заменить одну часть на другую: например, 1 − cos² α = sin² α. После такой замены часто можно сократить общий множитель в числителе и знаменателе. Однако сокращение допустимо лишь при условии, что сокращаемый множитель не равен нулю. Поэтому сначала отмечают ограничения исходного выражения, затем преобразуют его и проверяют, что все деления законны.
| Формула | Условия применимости | Что позволяет сделать |
|---|---|---|
| sin² α + cos² α = 1 | Верно для любого угла α | Найти квадрат синуса или косинуса по другой функции |
| tg α = sin α / cos α | cos α ≠ 0 | Вычислить тангенс по синусу и косинусу |
| ctg α = cos α / sin α | sin α ≠ 0 | Вычислить котангенс по косинусу и синусу |
| tg α · ctg α = 1 | sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0 | Найти один из двух взаимно обратных множителей |
Сначала найдите в таблице формулу, которая связывает известные данные с искомой величиной. Затем проверьте условие применимости, особенно если предстоит делить на синус или косинус. Последний столбец подсказывает, какое преобразование можно выполнить.
Нужно определить косинус по известному синусу. Основное тождество даёт квадрат косинуса, но при извлечении корня важно учесть знак. Острый угол имеет положительный косинус, поэтому выбираем положительное значение.
Ответ: cos α = 4/5. Если бы условие об остром угле отсутствовало, пришлось бы определить знак косинуса по дополнительной информации об угле.
Здесь синус и косинус уже известны, поэтому не требуется применять основное тождество для их поиска. Используем определения тангенса и котангенса как отношений этих величин. Сначала проверяем, что знаменатели ненулевые: 5/13 и 12/13 не равны нулю.
Ответ: tg α = 5/12, ctg α = 12/5. Проверка: (5/12) · (12/5) = 1, как и должно быть для взаимно обратных величин.
В числителе есть разность 1 − cos² α, которую можно выразить через синус. Условие sin α ≠ 0 дано заранее и позволяет разделить на синус, а затем сократить его квадрат с одним множителем синуса. Проверим преобразование по шагам, сохраняя исходное ограничение.
Ответ: sin α при sin α ≠ 0. Условие нельзя отбросить: исходное выражение не определено, когда знаменатель равен нулю.
При извлечении корня из равенства cos² α = 16/25 иногда сразу пишут cos α = 4/5, забывая о втором математически возможном знаке. Так поступают, если механически извлекают корень и не смотрят на условие задачи. Проверьте, какой знак синуса или косинуса соответствует данному углу. Например, для острого угла обе величины положительны.
Деля на cos α или sin α, можно не заметить, что знаменатель способен оказаться нулём. Ошибка возникает, когда формулу применяют автоматически, не проверяя область её определения. Перед делением запишите условие cos α ≠ 0 или sin α ≠ 0. Если условие не выполнено, соответствующее частное не имеет значения.
Формулы тангенса и котангенса легко перепутать, поставив в числитель не ту величину. Причина обычно в том, что запоминают названия, но не проверяют запись. Сверьтесь с определениями: tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α. Дополнительно можно перемножить полученные значения: при определённости произведение должно равняться 1.
Сокращение дроби иногда выполняют, не оговаривая, что сокращаемый множитель не равен нулю. Это может привести к тому, что преобразование используют для угла, при котором исходная дробь не определена. Перед сокращением проверьте знаменатель и запишите ограничение на синус или косинус. После преобразования убедитесь, что ответ рассматривается при тех же допустимых значениях угла.
Для вывода основного тождества нужны определения синуса и косинуса острого угла через стороны прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Поэтому знакомство с этими понятиями помогает понять, откуда берётся связь между квадратами синуса и косинуса. Новые формулы пригодятся для вычисления значений тригонометрических выражений и их упрощения. В старших классах тождества будут использоваться при решении уравнений и дальнейшем изучении тригонометрии.
Как вывести основное тригонометрическое тождество?
В прямоугольном треугольнике sin α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а cos α — прилежащего катета к гипотенузе. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если разделить это равенство на квадрат гипотенузы, получится sin² α + cos² α = 1.
Как найти косинус, если известен синус?
Из тождества следует cos² α = 1 − sin² α, поэтому cos α = ±√(1 − sin² α). Знак выбирают по углу: например, у острого угла синус и косинус положительны.
Почему в формулах тангенса и котангенса есть ограничения?
Тангенс — это частное sin α и cos α, а котангенс — частное cos α и sin α. Делить на ноль нельзя, поэтому для тангенса требуется cos α ≠ 0, а для котангенса — sin α ≠ 0.
Чем тангенс отличается от котангенса?
В тангенсе синус делят на косинус: tg α = sin α / cos α. В котангенсе порядок обратный: ctg α = cos α / sin α, поэтому при определённости обоих выражений их произведение равно 1.
Можно ли сокращать выражение, если в знаменателе стоит синус или косинус?
Можно, если знаменатель не равен нулю. Перед сокращением нужно записать соответствующее ограничение: sin α ≠ 0 или cos α ≠ 0. Иначе преобразование может оказаться неприменимым к некоторым углам.
§ 4. Тригонометрические формулы
