§ 1. Центральные углы

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Эту точку называют центром, а расстояние от неё до любой точки окружности — радиусом. Например, если центр обозначен O, а точка окружности — A, отрезок OA является радиусом. Центр и радиус помогают описывать положение окружности и строить углы, связанные с ней.

Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности. Его стороны пересекают окружность и являются радиусами. Если вершина обозначена O, а точки пересечения сторон с окружностью — A и B, угол записывают как ∠AOB. По такому углу можно определить, какую часть окружности занимает дуга AB.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Две точки, например A и B, задают две дуги: одну более короткую, другую более длинную. Поэтому в условии или решении стоит уточнять, какая дуга имеется в виду. Это различие нужно, чтобы не перепутать меру угла с мерой другой дуги между теми же концами.

Градусная мера дуги — число градусов, равное градусной мере соответствующего центрального угла. Соответствующий угол имеет вершину в центре, а его стороны проходят через концы дуги. Например, если угол AOB равен 60°, то мера дуги AB, на которую он опирается, также равна 60°. Это правило позволяет переходить от углов к дугам и обратно.

Как это устроено

Возьмём две точки A и B на окружности и проведём радиусы OA и OB. Они образуют центральный угол AOB, а точки A и B разделяют окружность на две дуги. Внутри угла лежит одна из этих дуг, и именно её связывают с данным углом. Если поменять угол на другой, образованный теми же радиусами, соответствующей может стать вторая дуга.

Градусная мера дуги совпадает с мерой опирающегося на неё центрального угла, потому что обе величины описывают один и тот же поворот вокруг центра. Чтобы пройти от одного радиуса к другому по меньшей дуге, нужно повернуться на столько же градусов, на сколько раскрыт угол между радиусами. Это и служит способом измерения дуги в градусах. Речь идёт именно о градусных мерах, а не о длинах дуги и сторон угла.

Полный оборот вокруг точки составляет 360°. Если совершить такой оборот вокруг центра окружности, направление пройдёт всю окружность и вернётся к исходному положению. Поэтому градусная мера всей окружности равна 360°. Это значение позволяет находить неизвестную часть окружности, если известна другая часть.

Между A и B есть меньшая и большая дуги, а вместе они составляют всю окружность. Значит, сумма их градусных мер равна 360°. Если известна мера меньшей дуги, меру большей находят вычитанием: 360° минус мера меньшей дуги. Например, при меньшей дуге 100° большая имеет меру 260°.

Равенство мер угла и дуги удобно применять, когда одна из них неизвестна или задана выражением. Сначала нужно убедиться, что угол и дуга соответствуют друг другу, то есть у них одни и те же концы и рассматривается нужная дуга. Затем можно приравнять их градусные меры и решить полученное уравнение. В конце проверьте, что найденная мера положительна и не превышает 360°, а для меньшей дуги — не превышает 180°.

Центральный угол и соответствующая ему дуга

Сначала определите, какие точки являются концами дуги и какой центральный угол ей соответствует. Затем используйте равенство градусных мер либо правило 360° для полной окружности. Если речь идёт о большей дуге, отдельно проверьте, что вы вычитаете меру именно меньшей дуги.

Разбор задач

Задача 1

В окружности с центром O угол AOB равен 48°. Найдите градусную меру меньшей дуги AB. Здесь известен центральный угол, а требуется мера дуги, на которую он опирается. Поэтому можно сразу воспользоваться правилом равенства их градусных мер.

1. Проверяем, что вершина угла AOB находится в центре O, а его стороны проходят через точки A и B.
2. Угол соответствует дуге AB с теми же концами.
3. Приравниваем меры: мера меньшей дуги AB равна 48°.

Ответ: 48°. Не нужно вычислять длину дуги: в задаче спрашивают именно градусную меру.

Задача 2

Мера меньшей дуги CD равна 125°. Найдите градусную меру большей дуги CD. Концы обеих дуг совпадают, поэтому вместе они составляют целую окружность. Её мера равна 360°, и этого достаточно, чтобы найти неизвестную часть.

1. Обозначим меру большей дуги через x.
2. Запишем сумму мер двух дуг: 125° + x = 360°.
3. Вычтем 125°: x = 360° − 125° = 235°.
4. Проверим: 125° + 235° = 360°, значит, дуги вместе дают всю окружность.

Ответ: 235°. Полученная мера больше 180°, поэтому она подходит для большей дуги.

Задача 3

Точки A, B и C лежат на окружности с центром O. Угол AOB равен 3x + 10°, а мера соответствующей меньшей дуги AB равна 5x − 14°. Найдите x и меру дуги. Угол и дуга имеют одинаковые концы и соответствуют друг другу, поэтому их градусные меры равны. Неизвестное значение можно найти из линейного уравнения.

1. Приравняем выражения: 3x + 10 = 5x − 14.
2. Перенесём неизвестные в одну сторону, числа — в другую: 24 = 2x.
3. Разделим обе части на 2: x = 12.
4. Подставим значение в выражение для дуги: 5 · 12 − 14 = 46°.
5. Проверим угол: 3 · 12 + 10 = 46°. Меры совпали, а 46° меньше 180°, значит, это допустимая мера меньшей дуги.

Ответ: x = 12, мера меньшей дуги AB равна 46°.

Типичные ошибки

Путать центральный угол с углом, вершина которого лежит на окружности. Это происходит, если ориентироваться только на то, что стороны пересекают окружность. Проверьте положение вершины: у центрального угла она обязательно совпадает с центром. Если вершина находится на окружности, угол не является центральным.

Считать, что между двумя точками есть только одна дуга. Обычно внимание сосредоточено на коротком пути между точками, но по окружности можно пройти в двух направлениях. Уточняйте, меньшая или большая дуга указана в условии. Для проверки помните, что их меры в сумме дают 360°.

Смешивать меру угла и длину дуги. Равенство центрального угла и дуги относится к числу градусов, а не к сантиметрам. Ошибка возникает из-за слова «мера», которое может относиться к разным величинам. Проверьте единицы: градусы указывают на градусную меру, а сантиметры — на длину.

Вычитать меру большей дуги из 180°. Число 180° относится к развёрнутому углу, а две дуги между точками составляют полный круг. Поэтому для большей дуги нужно вычитать меру меньшей из 360°. Проверка простая: сложите меры двух дуг — результат должен быть 360°.

Связь с другими темами

Для изучения центральных углов нужно знать, что такое окружность, центр, радиус и градусная мера угла. Эти понятия позволяют увидеть, как радиусы образуют угол и как он связан с дугой. Позже это правило пригодится при изучении вписанных углов и соотношений между углами и дугами окружности. Связь градусной меры дуги с её длиной понадобится при изучении длины окружности и площади круга: градусы описывают часть круга, а длина — расстояние по окружности.

Что запомнить

• Вершина центрального угла совпадает с центром окружности.
• Стороны центрального угла пересекают окружность.
• Две точки окружности задают две дуги.
• Мера дуги равна мере соответствующего центрального угла.
• Полная окружность имеет градусную меру 360°.
• Мера большей дуги равна 360° минус мера меньшей дуги между теми же точками.