§ 2. Вписанные углы

Определения и обозначения

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух других точках. Например, у угла ABC вершина B находится на окружности, а точки A и C — места пересечения сторон с ней. Это определение помогает не спутать такой угол с углом, вершина которого расположена внутри круга.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, стороны которого проходят через точки окружности. Если его стороны пересекают окружность в A и B, он связан с дугой AB. Центральный угол нужен, чтобы сравнивать углы с дугой и применять теорему о вписанном угле.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. У вписанного угла концами дуги служат точки, в которых стороны угла пересекают окружность; выбирают дугу, не содержащую вершину угла. Дуга нужна, чтобы точно указать, с какой частью окружности связан угол.

Теорема о вписанном угле утверждает: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Например, если центральный угол равен 80°, то вписанный, связанный с той же дугой, равен 40°. Теорема позволяет находить неизвестный угол, даже если известен только центральный угол или градусная мера дуги.

Как это устроено

Чтобы проверить, является ли угол вписанным, сначала найди его вершину и проверь, лежит ли она на окружности. Затем проследи обе стороны угла: каждая должна пересечь окружность ещё в одной точке. Если вершина находится в центре, угол центральный; если внутри круга, но не в центре, он не является вписанным. Такой порядок проверки не позволяет делать вывод только по внешнему виду угла.

Дуга, на которую опирается угол, определяется концами его сторон на окружности. У угла ABC это точки A и C, поэтому рассматривают дугу AC, не содержащую B. Именно эта дуга расположена напротив угла: если вершина лежит на одной из дуг AC, другая дуга и будет опорной. Уточнение важно, потому что между A и C есть две дуги, и их градусные меры могут различаться.

Связь углов объясняется с помощью радиусов. Соедини центр окружности с вершиной вписанного угла и с концами его сторон: каждый получившийся треугольник равнобедренный, потому что две его стороны — радиусы. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма углов треугольника равна 180°. Из этих равенств следует, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, вдвое больше вписанного. Если центр или вершина расположены так, что построение делит угол на части, рассуждение применяют к частям и складывают результаты.

Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, потому что каждый из них равен половине одной и той же величины — градусной меры этой дуги. Значит, значения углов совпадают, даже если их вершины находятся в разных точках окружности. При этом нужно следить, чтобы речь шла именно об одной дуге, а не просто об общей хорде.

Если угол опирается на диаметр, его дуга является полуокружностью и имеет меру 180°. По теореме вписанный угол равен половине этой меры, то есть 90°. Верно и обратное: если вписанный угол прямой, то его дуга равна 180°, а её концы соединены диаметром. Поэтому в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза является диаметром.

Основные свойства вписанных углов

Пользуйся таблицей так: сначала определи, на какую дугу опирается угол, затем выбери подходящую строку. Если известен центральный угол, раздели его на два; если известна дуга — также возьми половину её градусной меры. Для диаметра сразу используй значение 90°.

Разбор задач

Задача 1. В окружности центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен 86°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу. Нужно связать два угла с общей дугой, а не искать отдельные свойства треугольника. По теореме вписанный угол вдвое меньше центрального.

1. Проверяем, что центральный угол и угол ACB опираются на одну дугу AB.
2. Делим центральный угол пополам: 86° : 2 = 43°.
3. Полученное значение является величиной вписанного угла ACB.

Ответ: 43°.

Задача 2. Точки C и D лежат на одной дуге AB окружности. Докажите, что углы ACB и ADB равны. У обоих углов концы сторон — точки A и B, поэтому надо определить, на какую дугу они опираются. Поскольку C и D расположены на одной дуге AB, оба угла опираются на противоположную дугу AB.

1. Угол ACB опирается на дугу AB, не содержащую C.
2. Угол ADB опирается на дугу AB, не содержащую D.
3. Так как C и D лежат на одной дуге AB, выбранная противоположная дуга для обоих углов одна и та же.
4. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, следовательно, ∠ACB = ∠ADB.

Ответ: ∠ACB = ∠ADB, что и требовалось доказать.

Задача 3. AB — диаметр окружности, точка C лежит на окружности, а ∠BAC = 35°. Найдите углы треугольника ABC. Сначала используй положение диаметра, чтобы найти угол, лежащий напротив него. Затем примени сумму углов треугольника для оставшегося угла.

1. Угол ACB опирается на диаметр AB, поэтому он прямой: ∠ACB = 90°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, ∠ABC = 180° − 90° − 35° = 55°.
3. Проверяем: 35° + 55° + 90° = 180°, сумма верна.

Ответ: ∠BAC = 35°, ∠ABC = 55°, ∠ACB = 90°.

Типичные ошибки

Путают вписанный и центральный угол. Ошибка возникает, если смотреть только на стороны и не проверять вершину. У вписанного угла вершина лежит на окружности, у центрального — в центре. Перед вычислениями отметь, где находится вершина; тогда станет понятно, какое свойство применять.

Выбирают не ту дугу. Например, угол ABC связан с дугой AC, не содержащей B, а не с любой дугой между A и C. Путаница появляется потому, что между двумя точками окружности есть две дуги. Проверь, какая из них расположена напротив вершины угла, и только затем используй её меру.

Приравнивают вписанный угол к центральному. Так происходит, когда забывают множитель ½ в теореме. Для одной дуги центральный угол вдвое больше вписанного, поэтому нужно разделить центральный угол на два. Для самопроверки убедись, что найденный вписанный угол меньше центрального.

Считают прямым угол, опирающийся на любую хорду. Это свойство относится только к диаметру: он стягивает полуокружность, а обычная хорда может стягивать дугу другой меры. Проверь, проходит ли хорда через центр окружности. Если не проходит, из одного факта о хорде нельзя заключить, что угол равен 90°.

Связь с другими темами

Для работы с вписанными углами нужны понятия окружности, радиуса, диаметра, хорды, дуги и центрального угла. Также пригодится сумма углов треугольника: с её помощью находят неизвестный угол после того, как вписанный угол, опирающийся на диаметр, определён как прямой. Радиусы позволяют обосновать теорему через равнобедренные треугольники.

Свойства вписанных углов помогают доказывать утверждения о треугольниках и четырёхугольниках, а также решать задачи на окружность. Они позволяют находить углы по дуге или диаметру и строить прямые углы, используя диаметр окружности. Обратное утверждение о прямом вписанном угле помогает распознавать диаметр по углам треугольника.

Что запомнить

• Вершина вписанного угла лежит на окружности.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Угол, опирающийся на диаметр, прямой.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности.