"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Вписанный четырёхугольник — фигура, все четыре вершины которой лежат на одной окружности. Такая окружность называется описанной около четырёхугольника. Главное свойство фигуры связано с её противоположными углами: их сумма равна 180°. Это правило помогает находить неизвестные углы, а обратное утверждение позволяет проверить, можно ли провести окружность через вершины заданного выпуклого четырёхугольника. Поэтому тема пригодится и в вычислениях, и в геометрических доказательствах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Например, если вершины A, B, C и D расположены на общей окружности, то ABCD является вписанным. Это определение позволяет понять, какое расположение точек требуется для применения свойств такой фигуры. Недостаточно, чтобы на окружности лежали только две или три вершины.
Описанная около четырёхугольника окружность — окружность, проходящая через все его вершины. Для вписанного четырёхугольника такая окружность единственна: три вершины, не лежащие на одной прямой, определяют только одну окружность, а четвёртая также принадлежит ей. Термины «вписанный четырёхугольник» и «описанная окружность» описывают одну и ту же ситуацию с разных сторон. Это помогает не перепутать расположение окружности и фигуры.
Противоположные углы четырёхугольника — углы, не имеющие общей стороны. В ABCD противоположны пары A и C, а также B и D; углы A и B, например, соседние. Различать эти пары нужно, потому что свойство о сумме 180° относится именно к противоположным углам. Если обозначения на чертеже непривычны, проследи, какие вершины стоят друг напротив друга.
Чтобы понять, откуда берётся сумма 180°, вспомним свойство вписанного угла: его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол A вписанного четырёхугольника ABCD опирается на дугу BCD, не содержащую A, а угол C — на дугу BAD, не содержащую C. Эти две дуги вместе составляют всю окружность, то есть 360°. Значит, сумма углов A и C равна половине 360° — это 180°; такой же довод работает для B и D.
Свойство можно использовать и в обратную сторону: если у выпуклого ABCD сумма углов A и C равна 180°, то около него можно описать окружность. Представь окружность, проходящую через три вершины A, B и C. Угол, опирающийся на дугу ABC, дополняет угол A до 180°, поэтому по условию он равен углу D. Следовательно, D лежит на той же окружности, и все четыре вершины оказываются на ней.
Если требуется найти неизвестный угол, сначала установи, какой угол ему противоположен. Затем запиши равенство: неизвестный угол плюс известный противоположный угол равны 180°. Реши его и проверь, что результат больше 0° и меньше 180°, как должны быть внутренние углы выпуклого четырёхугольника. Например, напротив угла 68° должен находиться угол 112°.
Чтобы решить, можно ли описать окружность около заданного выпуклого четырёхугольника, проверь сумму одной пары противоположных углов. Если она равна 180°, срабатывает признак вписанности; если не равна, четырёхугольник не является вписанным. Вторую пару отдельно проверять не требуется: сумма всех четырёх углов любого четырёхугольника равна 360°, поэтому из первой суммы 180° следует и вторая. Важно складывать именно углы, стоящие напротив друг друга.
Связь углов с дугами объясняет и то, почему противоположные углы не обязательно равны. Каждый из них опирается на свою дугу, а эти дуги дополняют друг друга до полной окружности. Поэтому величины углов складываются в 180°, даже если одна дуга больше другой. Чем больше дуга, тем больше опирающийся на неё вписанный угол.
| Что рассматриваем | Свойство или признак |
|---|---|
| Условие вписанности | Все четыре вершины лежат на одной окружности. |
| Сумма противоположных углов | У вписанного четырёхугольника сумма каждой пары противоположных углов равна 180°. |
| Обратное утверждение | Если сумма одной пары противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна 180°, около него можно описать окружность. |
| Связь противоположных углов с дугами | Дуги, на которые опираются противоположные углы, вместе составляют полную окружность — 360°. |
В таблице собраны определение, свойство и признак — обратное свойству утверждение. При вычислении угла пользуйся строкой о сумме противоположных углов, а при доказательстве вписанности — строкой об обратном утверждении. Для проверки в задаче сначала найди одну пару противоположных углов и сложи её величины.
Задача 1. Вписанный четырёхугольник ABCD имеет угол A, равный 68°. Найдите угол C. Нужно использовать именно пару противоположных углов A и C: они вместе дают 180°. Поэтому достаточно вычесть известную величину из 180°, а затем проверить, что найденный угол острый или тупой в пределах от 0° до 180°.
Ответ: ∠C = 112°. Полученное значение допустимо для внутреннего угла выпуклого четырёхугольника.
Задача 2. В четырёхугольнике ABCD углы A и C равны соответственно 3x + 10° и 2x + 20°. Известно, что около ABCD можно описать окружность. Найдите x и углы A и C. Раз окружность проходит через вершины, ABCD вписанный, а A и C — противоположные углы. Составим для них уравнение с суммой 180°, найдём x и подставим его в оба выражения.
Ответ: x = 30, ∠A = 100°, ∠C = 80°.
Задача 3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы A и C равны 74° и 106°. Докажите, что около него можно описать окружность. Здесь требуется не найти остальные углы, а выбрать утверждение, позволяющее сделать вывод о возможности провести окружность. Углы A и C противоположные, а их сумма равна 180°, значит, подходит обратный признак вписанного четырёхугольника.
Ответ: около ABCD можно описать окружность, следовательно, ABCD — вписанный четырёхугольник.
Первая ошибка — складывать соседние углы вместо противоположных. Её допускают, когда смотрят на обозначения по порядку и не проверяют расположение вершин; например, A и B имеют общую сторону, поэтому это соседние углы. Перед вычислением отметь пары A и C, B и D. Самопроверка простая: у выбранных углов не должно быть общей стороны.
Вторая ошибка — считать, что сумма 180° лишь подтверждает вписанность уже известной фигуры. Но для выпуклого четырёхугольника это ещё и признак: равенство суммы одной пары противоположных углов позволяет доказать, что окружность проходит через все вершины. Ошибка возникает из-за чтения свойства только в одном направлении. Проверь себя: в доказательстве сначала установи выпуклость и назови обратный признак.
Третья ошибка — путать вписанный четырёхугольник с фигурой, около которой вписана окружность. В первом случае окружность проходит через вершины, во втором она касается сторон; слова похожи, поэтому легко переставить роли объектов. Чтобы проверить смысл, спроси: окружность касается сторон или проходит через вершины? Для этой темы нужен второй вариант.
Четвёртая ошибка — приравнивать сумму противоположных углов к 360°. 360° — сумма всех четырёх внутренних углов, а 180° — сумма только одной пары противоположных углов вписанного четырёхугольника. Путаница появляется, если не уточнить, какие именно углы входят в уравнение. Перед решением подпиши пару: например, ∠A + ∠C = 180°.
Для объяснения суммы углов нужно знать определение вписанного угла и теорему: его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Поэтому полезно уметь различать дуги окружности и понимать, какая дуга соответствует данному углу. Также пригодятся свойства окружности и сумма внутренних углов четырёхугольника, равная 360°. Признак вписанного четырёхугольника помогает доказывать геометрические утверждения и решать задачи на окружности.
Как понять, что четырёхугольник является вписанным?
Если все его вершины лежат на одной окружности, четырёхугольник вписанный. Для выпуклого четырёхугольника это можно проверить по углам: сумма одной пары противоположных углов должна быть 180°.
Почему противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°?
Каждый такой угол равен половине дуги, на которую он опирается. Дуги, соответствующие противоположным углам, вместе составляют всю окружность, то есть 360°, поэтому половина их суммы равна 180°.
Можно ли доказать вписанность, если известны только два угла?
Да, если эти углы противоположные и их сумма равна 180°. По обратному утверждению о свойстве вписанного четырёхугольника этого достаточно для выпуклого четырёхугольника.
Как найти неизвестный угол вписанного четырёхугольника?
Определи угол, противоположный неизвестному, и вычти его величину из 180°. Например, если противоположный угол равен 68°, то неизвестный равен 180° − 68° = 112°.
Чем вписанный четырёхугольник отличается от четырёхугольника, около которого вписана окружность?
У вписанного четырёхугольника окружность проходит через все четыре вершины. Если же окружность вписана в четырёхугольник, она касается его сторон, а вершины обычно на окружности не лежат.
§ 3. Вписанный четырёхугольник
