§ 1. Определение тригонометрических функций центрального угла

Определения и обозначения

Синус центрального угла — это отношение координаты y точки на конечной стороне угла к длине радиус-вектора r: sin α = y/r. Координата y показывает вертикальное смещение точки относительно центра. Синус помогает описывать, какую долю радиус-вектора составляет его вертикальная составляющая.

Косинус центрального угла равен отношению координаты x к длине радиус-вектора: cos α = x/r. Координата x показывает горизонтальное смещение точки. Косинус нужен, чтобы сравнить горизонтальную составляющую радиус-вектора с его полной длиной.

Тангенс центрального угла находят как отношение y к x: tg α = y/x. Он определён только при x ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Тангенс показывает, как связаны вертикальная и горизонтальная координаты точки.

Котангенс центрального угла — обратное отношение: ctg α = x/y. Это выражение имеет смысл только при y ≠ 0. Котангенс позволяет сравнить горизонтальную координату с вертикальной.

Как это устроено

Поместим центр центрального угла в начало координат, а точку P(x, y) — на его конечную сторону. Радиус-вектор OP соединяет центр с точкой, поэтому его длина равна r = √(x² + y²). Вертикальная и горизонтальная составляющие этого вектора равны соответственно y и x, что и приводит к формулам sin α = y/r и cos α = x/r.

На одной конечной стороне можно выбрать разные точки, например P(x, y) и Q(λx, λy), где λ > 0. Расстояние до второй точки также увеличится в λ раз: OQ = λr. Поэтому (λy)/(λr) = y/r и (λx)/(λr) = x/r, то есть синус и косинус не изменятся.

Тангенс получается из отношения вертикальной и горизонтальной координат: tg α = y/x. Котангенс строится наоборот: ctg α = x/y. Ненулевой знаменатель необходим потому, что деление на ноль не имеет смысла.

Знаки функций определяются знаками координат. В I четверти x и y положительны, во II x отрицателен, а y положителен, в III обе координаты отрицательны, в IV x положителен, а y отрицателен. Поэтому синус имеет знак y, косинус — знак x, а тангенс и котангенс положительны, когда x и y одного знака.

На горизонтальной оси y = 0, поэтому sin α = 0, а ctg α не определён. На вертикальной оси x = 0, поэтому cos α = 0, а tg α не определён. Так определения сразу показывают, какие функции существуют для углов, чьи конечные стороны лежат на координатных осях.

Определения и условия существования тригонометрических функций центрального угла

Сначала определите координаты точки и найдите r, если он не дан. Затем выберите строку нужной функции и проверьте условие в последнем столбце. Особое внимание обращайте на знаменатель: он не должен быть равен нулю.

Разбор задач

Задача 1

Точка P(3, 4) лежит на конечной стороне центрального угла α. Найдём синус и косинус.

1. Вычислим длину радиус-вектора: r = √(3² + 4²) = √25 = 5.
2. Подставим координаты в формулы: sin α = y/r = 4/5, cos α = x/r = 3/5.
3. Обе координаты положительны, поэтому полученные значения положительны.

Ответ: sin α = 4/5, cos α = 3/5.

Задача 2

Точка P(−5, 12) лежит на конечной стороне угла α. Найдём все функции и их знаки.

1. r = √((−5)² + 12²) = √169 = 13.
2. sin α = 12/13, cos α = −5/13, tg α = 12/(−5) = −12/5, ctg α = −5/12.
3. Точка находится во II четверти: y положителен, x отрицателен. Поэтому синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.

Ответ: sin α = 12/13, cos α = −5/13, tg α = −12/5, ctg α = −5/12.

Задача 3

Известно, что sin α = 3/5, а конечная сторона угла находится во II четверти. Найдём остальные функции.

1. Используем sin² α + cos² α = 1: cos² α = 1 − 9/25 = 16/25, значит |cos α| = 4/5.
2. Во II четверти косинус отрицателен, поэтому cos α = −4/5.
3. tg α = (3/5)/(−4/5) = −3/4, а ctg α = (−4/5)/(3/5) = −4/3.

Ответ: cos α = −4/5, tg α = −3/4, ctg α = −4/3.

Типичные ошибки

Первая ошибка — поменять местами координаты: записать sin α = x/r и cos α = y/r. Так происходит из-за смешения горизонтального и вертикального направлений. Проверьте себя: синус связан с y, а косинус — с x.

Иногда координаты делят на число, которое не является расстоянием от центра до точки. Причина ошибки — забытая формула r = √(x² + y²). Сначала найдите радиус-вектор по теореме Пифагора и только потом вычисляйте синус или косинус.

Нельзя считать тангенс и котангенс определёнными для любого угла. У тангенса знаменатель x, у котангенса — y, поэтому соответственно нужны условия x ≠ 0 и y ≠ 0. Перед вычислением зачеркните нулевой знаменатель и проверьте его значение.

Ещё одна ошибка — поставить всем функциям знак плюс. Знак зависит от четверти и знаков координат: сначала определите знаки x и y, а затем знаки отношений. Полезная проверка — вспомнить, что в одной четверти координаты могут иметь разные или одинаковые знаки.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координатная плоскость, координаты точки и понятие центрального угла. Расстояние от начала координат до точки находят по теореме Пифагора, поэтому важно уверенно работать с квадратами и корнями.

Определения функций станут основой для тригонометрических тождеств и нахождения значений функций разных углов. Они также применяются в задачах на прямоугольные треугольники, где отношения сторон описывают синус, косинус и другие функции.

Что запомнить

• Для точки (x, y) на конечной стороне угла r — расстояние от центра до точки.
• sin α = y/r, а cos α = x/r.
• tg α = y/x и определён только при x ≠ 0.
• ctg α = x/y и определён только при y ≠ 0.
• Синус и косинус не меняются при выборе другой точки на той же конечной стороне угла.
• Знаки функций зависят от знаков координат точки и её расположения по четвертям.