"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Тригонометрические формулы связывают синус, косинус, тангенс и котангенс одного угла. Главная из них — sin² α + cos² α = 1: она верна для любого угла и помогает находить одну величину, когда известна другая. Из неё выводятся тождества с тангенсом и котангенсом. Эти равенства упрощают выражения и помогают решать задачи, но при делении нужно следить, чтобы знаменатель не был равен нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Основное тригонометрическое тождество — это равенство sin² α + cos² α = 1, верное для любого угла α. Запись sin² α означает (sin α)², а cos² α — (cos α)². Тождество помогает найти синус через косинус или косинус через синус.
Тангенс угла записывают так: tg α = sin α / cos α. Он определён только тогда, когда cos α ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя. Такая запись позволяет заменить тангенс дробью с синусом и косинусом.
Котангенс угла задаётся формулой ctg α = cos α / sin α. Для него необходимо, чтобы sin α ≠ 0. Формула нужна, чтобы выразить котангенс через уже известные значения косинуса и синуса.
Из основного тождества следуют равенства 1 + tg² α = 1 / cos² α и 1 + ctg² α = 1 / sin² α. Первое применяют при cos α ≠ 0, второе — при sin α ≠ 0. Они помогают преобразовывать выражения с квадратами тангенса и котангенса.
Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точке, соответствующей углу α, отвечают координаты x = cos α и y = sin α. Поскольку любая точка окружности удовлетворяет уравнению x² + y² = 1, после подстановки координат получаем cos² α + sin² α = 1. Поэтому тождество работает для любого угла, а не только для углов прямоугольного треугольника.
В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему, а котангенс — обратное отношение. Если разделить оба этих катета на гипотенузу, получатся отношения sin α / cos α и cos α / sin α. На единичной окружности тот же результат следует из координат: синус задаёт вертикальную координату, косинус — горизонтальную. Деление на ноль невозможно, поэтому тангенс теряет смысл при cos α = 0, а котангенс — при sin α = 0.
Чтобы получить тождество с тангенсом, разделим sin² α + cos² α = 1 на cos² α. Это можно делать только при cos α ≠ 0; после деления получаем tg² α + 1 = 1 / cos² α. Если вместо этого разделить на sin² α при sin α ≠ 0, выйдет 1 + ctg² α = 1 / sin² α. Условия здесь не добавлены для красоты: без них деление могло бы изменить исходную задачу и привести к выражению, которое не определено.
Когда обе функции определены, перемножим их выражения через синус и косинус: (sin α / cos α) · (cos α / sin α). Числитель и знаменатель сокращаются, поэтому произведение равно 1. Важно, что сокращение возможно лишь при ненулевых синусе и косинусе, то есть когда существуют и тангенс, и котангенс.
Выбирая формулу, сначала определите, какую величину нужно получить, и посмотрите, какие функции уже есть в выражении. Если дан синус и требуется косинус, удобно использовать sin² α + cos² α = 1; если встречаются tg α и ctg α, можно применить их произведение. Для выражений с 1 + tg² α подходит тождество с косинусом, но перед использованием проверьте, что cos α ≠ 0. После преобразования полезно проверить область определения и знак результата.
| Формула | Условие | Что позволяет сделать |
|---|---|---|
| sin² α + cos² α = 1 | Для любого α | Найти синус или косинус через другую величину |
| tg α = sin α / cos α | cos α ≠ 0 | Выразить тангенс через синус и косинус |
| ctg α = cos α / sin α | sin α ≠ 0 | Выразить котангенс через косинус и синус |
| tg α · ctg α = 1 | Обе величины определены | Заменить тангенс котангенсом или наоборот |
| 1 + tg² α = 1 / cos² α | cos α ≠ 0 | Преобразовать выражение с тангенсом |
| 1 + ctg² α = 1 / sin² α | sin α ≠ 0 | Преобразовать выражение с котангенсом |
Сначала найдите в таблице знакомую часть выражения, а затем проверьте условие во втором столбце. Последний столбец подсказывает, какую замену можно выполнить. Если условие не выполнено, соответствующей формулой пользоваться нельзя.
Вычислите cos α, если sin α = 3/5 и угол α острый. Известен синус, поэтому используем основное тождество, а не формулу тангенса. Условие об остром угле поможет выбрать знак косинуса.
Ответ: cos α = 4/5. Если бы условие об остром угле отсутствовало, по одному значению синуса знак косинуса определить было бы нельзя. Тогда пришлось бы учитывать, в какой четверти расположен угол.
Найдите tg α и ctg α, если sin α = 5/13, cos α = 12/13. Здесь обе исходные величины уже даны, поэтому достаточно применить определения тангенса и котангенса. Проверим также, что знаменатели этих дробей не равны нулю.
Ответ: tg α = 5/12, ctg α = 12/5. Синус и косинус не равны нулю, поэтому оба значения существуют. Проверка произведением помогает заметить ошибку при перестановке числителя и знаменателя.
Упростите (1 − cos² α) / sin α при sin α ≠ 0. В числителе есть разность 1 − cos² α, которую можно выразить через синус по основному тождеству. Ограничение в условии позволяет затем сократить дробь на sin α.
Ответ: sin α. Если забыть условие sin α ≠ 0, сокращение окажется необоснованным при нулевом знаменателе. Поэтому область определения исходного выражения проверяют до преобразований.
Деление на sin α или cos α без проверки знаменателя может привести к использованию формулы там, где она не определена. Так бывает, когда ученик переносит алгебраическое преобразование на тригонометрическое, не учитывая значения функций. Перед делением запишите условие: sin α ≠ 0 или cos α ≠ 0. В конце убедитесь, что найденные значения угла ему удовлетворяют.
Из равенства sin² α + cos² α = 1 нельзя заключить, что sin α + cos α = 1. Квадрат относится отдельно к каждой функции, а возведение суммы в квадрат дало бы ещё и слагаемое 2 sin α cos α. Чтобы проверить себя, подставьте, например, синус 3/5 и косинус 4/5: сумма квадратов равна 1, а сумма самих чисел — 7/5.
При извлечении корня из sin² α или cos² α нельзя автоматически оставлять только положительный ответ: √(sin² α) = |sin α|. Ошибку допускают, считая, что квадратный корень всегда возвращает исходное число. Знак синуса или косинуса зависит от расположения угла; его определяют по четверти или по условию задачи. Проверьте оба возможных знака, прежде чем выбрать один.
Равенство tg α · ctg α = 1 верно не при каждом угле, а лишь тогда, когда обе функции определены. Если синус или косинус равен нулю, одна из дробей не существует, и перемножать её нельзя. Ошибка возникает из-за сокращения числителя и знаменателя без проверки нулевых значений. Проверка проста: убедитесь, что sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0.
Для работы с этими равенствами нужны определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также координатное описание единичной окружности. Именно через координаты понятно, почему сумма квадратов синуса и косинуса равна единице. Позже тождества используют при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений. Они также помогают находить неизвестные значения функций в геометрических и вычислительных задачах.
Почему sin² α + cos² α равно 1?
На единичной окружности точка с углом α имеет координаты (cos α; sin α). Для любой точки этой окружности x² + y² = 1, поэтому cos² α + sin² α = 1.
Когда тангенс или котангенс угла не определён?
Тангенс не определён, когда cos α = 0: делить на ноль нельзя. Котангенс не определён, когда sin α = 0.
Как найти косинус, если известен синус?
Подставьте известный синус в равенство cos² α = 1 − sin² α и извлеките квадратный корень. Получится cos α = ±√(1 − sin² α); знак выбирают по четверти, в которой находится угол, или по дополнительному условию, например «угол острый».
Можно ли делить обе части тождества на синус или косинус?
Можно, только если делитель не равен нулю. Поэтому при делении на sin α нужно указать sin α ≠ 0, а при делении на cos α — cos α ≠ 0.
Как выбрать нужное тригонометрическое тождество для упрощения выражения?
Посмотрите, какие функции и степени уже есть в выражении, и выберите равенство, которое связывает их с нужной величиной. Например, 1 − cos² α заменяется на sin² α, а 1 + tg² α — на 1/cos² α, если cos α ≠ 0.
§ 2. Тригонометрические формулы
