"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Поворот плоскости перемещает точки вокруг общего центра, а направленный угол показывает, на сколько и в какую сторону произошло движение. Чтобы задать поворот, указывают его центр и угол: против часовой стрелки угол считают положительным, по часовой — отрицательным. Направленный угол может превышать 360° и включать полные обороты. Углы, различающиеся на целое число полных оборотов, приводят луч в одно и то же конечное положение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Поворот плоскости — преобразование, при котором каждая точка движется по окружности с центром в одной и той же точке; для задания поворота указывают его центр и угол. Центр остаётся неподвижным, а расстояние от него до каждой точки сохраняется. Поэтому поворот можно описать как согласованное движение всей плоскости вокруг выбранной точки.
Направленный угол — угол, при измерении которого учитывают не только величину, но и направление поворота от начального луча к конечному. Начальный луч показывает, откуда начинают отсчёт, а конечный — где он заканчивается. Такое обозначение помогает различить движения, которые приводят лучи в одинаковые или разные положения.
Положительное направление поворота — направление против часовой стрелки; поворот в эту сторону задаёт положительный угол. Например, поворот на 70° против часовой стрелки записывают как 70°. Это правило позволяет по знаку сразу понять направление движения.
Отрицательное направление поворота — направление по часовой стрелке; поворот в эту сторону задаёт отрицательный угол. Например, поворот на 135° по часовой стрелке записывают как −135°. Знак минус здесь сообщает направление, а не означает, что сама величина поворота меньше нуля.
Для описания поворота достаточно выбрать центр и указать, от какого луча начинается движение и на какой угол оно происходит. Каждая точка, кроме центра, перемещается по окружности с этим центром, поэтому её расстояние до центра не меняется. Если известно начальное положение точки, вместе с центром оно задаёт окружность, по которой точка может двигаться. Угол определяет, какое место на этой окружности она займёт, а направление — в какую сторону туда двигаться.
Одной величины угла бывает недостаточно, потому что поворот на 90° можно выполнить как против часовой стрелки, так и по часовой. Эти движения имеют одинаковую величину, но заканчиваются в разных местах, если начать с одного и того же луча. Направление обхода различают знаками: плюс соответствует движению против часовой стрелки, минус — по часовой. Поэтому запись −90° однозначно указывает поворот по часовой стрелке.
Направленный угол измеряют от начального луча к конечному, следя за тем, в какую сторону и сколько прошёл луч. Против часовой стрелки отсчёт положительный, по часовой — отрицательный; полный круг равен 360°. Можно повернуться больше чем на один круг: например, 450° означает полный оборот и ещё 90° против часовой стрелки. Если движение шло по часовой стрелке, мера будет отрицательной, даже когда луч прошёл больше одного круга.
После полного оборота луч возвращается к исходному положению, потому что направление и его положение на плоскости снова совпадают с начальными. Поэтому к мере угла можно прибавить или из неё вычесть 360°, не меняя конечного положения луча. Например, 70° и 430° отличаются на 360°, а значит, приводят к одному лучу. В общем случае одинаковое конечное положение получается у углов, разность которых равна целому числу полных оборотов.
Направленный угол связывает величину поворота с его направлением: он задаёт, на сколько и в какую сторону поворачивают луч или всю плоскость. Луч показывает ориентацию, а центр поворота — точку, вокруг которой перемещаются остальные точки. Если поворачивают всю плоскость, каждый её участок движется согласованно, сохраняя расстояния до центра. Поэтому указание центра и направленного угла полностью описывает такой поворот.
| Что сравниваем | Обычный угол | Направленный угол |
|---|---|---|
| Как задаётся | Двумя лучами с общим началом | Начальным и конечным лучами, направлением и числом оборотов |
| Учитывается ли направление обхода | Нет | Да |
| Какие значения может принимать мера | От 0° до 180° | Любое число градусов, положительное или отрицательное |
| Как связаны углы с одинаковыми конечными лучами | Одинаковое положение лучей задаёт ту же величину угла | Меры могут отличаться на целое число полных оборотов |
Пользуйся таблицей, когда нужно понять, достаточно ли назвать величину угла или важно указать и направление движения. Если в задаче речь идёт о повороте, проверь знак и возможность полных оборотов. Для сопоставления конечных положений вычитай из угла или прибавляй к нему 360°.
Задача 1. Луч повернули против часовой стрелки на 70°. Укажи направленный угол поворота. Здесь величина уже дана, поэтому нужно определить только знак. Движение против часовой стрелки принято считать положительным.
Ответ: 70°.
Задача 2. Луч повернули по часовой стрелке на 135°. Запиши меру направленного угла и объясни выбор знака. Величина поворота положительна как обычная мера, но направленный угол должен дополнительно показать направление. Поэтому сначала определяем знак по направлению, а затем записываем число градусов.
Ответ: −135°; знак минус показывает поворот по часовой стрелке.
Задача 3. Луч повернули против часовой стрелки на 810°. Найди угол от 0° до 360°, задающий то же конечное положение луча. Угол больше одного полного оборота, поэтому отделим целые круги: каждый из них равен 360°. Оставшаяся часть показывает, насколько луч повернулся после полных оборотов.
Ответ: 90°.
Ошибка: записывать положительный знак для поворота по часовой стрелке. Так ошибаются, если смотрят только на величину угла и забывают определить направление движения. Проверь себя: мысленно проследи поворот от начального луча к конечному; по часовой стрелке означает знак минус.
Ошибка: считать, что направленный угол обязательно лежит между 0° и 180°. Такое ограничение переносят с обычного угла, хотя направленный угол описывает поворот и может быть больше полуоборота или включать полные круги. Проверь, не прошёл ли луч больше 180° и не было ли дополнительных оборотов. Для направленного угла допустимы меры за пределами этого промежутка.
Ошибка: не указывать начальный луч и направление отсчёта. Без начального луча непонятно, откуда начинают поворот, а без направления нельзя определить его знак. Такая запись может описывать несколько разных движений. Проверь условие: должны быть ясны начальное положение и сторона поворота.
Ошибка: считать углы, отличающиеся на 360°, разными конечными положениями луча. Это происходит, если не учесть, что полный оборот возвращает луч в прежнее положение. Например, к 70° можно прибавить 360° и получить 430°, не меняя конечный луч. Проверь разность углов: если она равна целому числу полных оборотов, конечные положения совпадают.
Для работы с поворотами нужно знать обычный угол, его градусную меру и направление вращения на плоскости. Эти знания помогают выбрать начальный луч, оценить величину движения и правильно поставить знак. Направленные углы понадобятся при введении тригонометрических функций, где важно учитывать не только величину, но и сторону поворота. Они также позволяют рассматривать углы за пределами 0°–180° и связывать их с полными оборотами.
Почему угол поворота по часовой стрелке записывают со знаком минус?
Так принято различать два направления: против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным. Поэтому поворот на 135° по часовой стрелке записывают как −135°.
Может ли направленный угол быть больше 360°?
Да. Он может учитывать несколько полных оборотов, поэтому его мера может быть больше 360° или меньше −360°. Например, 810° означает два полных оборота и ещё 90° против часовой стрелки.
Как определить конечное положение луча после нескольких полных оборотов?
Каждый полный оборот равен 360° и возвращает луч в прежнее положение. Вычти из угла целое число полных оборотов, пока не получишь меру от 0° до 360°; оставшийся угол задаёт то же конечное положение.
Могут ли разные направленные углы привести к одному и тому же лучу?
Да. Если их разность равна целому числу полных оборотов, конечные лучи совпадают. Например, углы 70° и 430° задают одинаковое положение луча.
Чем направленный угол отличается от обычного?
Обычный угол описывает величину между лучами, а направленный учитывает, в какую сторону поворачивают от начального луча к конечному. Поэтому направленный угол имеет знак и может включать полный оборот или несколько оборотов.
§ 3. Повороты и направленные углы
