§ 4. Графики синуса и косинуса

Определения и обозначения

Функция y = sin x каждому допустимому значению x ставит в соответствие его синус. Запись означает: выбрали число x, нашли его синус и получили значение y. График помогает увидеть, как это значение меняется при движении x.

Функция y = cos x каждому допустимому значению x ставит в соответствие его косинус. Для любого действительного x оба значения находятся в промежутке [−1; 1]. Это ограничение сразу показывает, между какими горизонтальными линиями может располагаться график.

График функции — множество точек с координатами (x; f(x)) на координатной плоскости. Для синуса точка имеет вид (x; sin x), а для косинуса — (x; cos x). Поэтому, зная значения функции при нескольких x, можно отметить соответствующие точки.

Период функции — положительное число T, при добавлении которого значения не меняются: f(x + T) = f(x). Для синуса и косинуса наименьший положительный период равен 2π. Это позволяет строить график на одном промежутке и затем повторять его.

Как это устроено

Для построения берут основные углы и их значения. При x = 0 синус равен 0, а косинус равен 1; при x = π/2 они равны соответственно 1 и 0. При x = π получаем 0 и −1, а при x = 3π/2 — −1 и 0. Эти числа дают вершины и пересечения кривых с осями, поэтому с них удобно начинать построение.

Графики повторяются через 2π, потому что угол увеличился на полный оборот. На единичной окружности после такого оборота точка возвращается в исходное положение. Её координаты, а значит, синус и косинус, снова становятся прежними: sin(x + 2π) = sin x и cos(x + 2π) = cos x.

Отмеченные точки соединяют не отрезками, а плавными линиями. Между соседними основными углами функция меняется постепенно, без резких скачков. После построения одного периода такой же изгиб переносят на 2π влево и вправо, сохраняя высоты точек.

График синуса проходит через начало координат, потому что sin 0 = 0, поэтому при x = 0 получается точка (0; 0). Косинус при том же аргументе равен 1, и его начальная точка — (0; 1). Это главное различие, по которому кривые легко различить на одном чертеже.

Наибольшее значение находят по самой высокой точке графика, а наименьшее — по самой низкой. Для обеих функций это 1 и −1. Промежутки возрастания определяют по движению кривой слева направо вверх, а промежутки убывания — по её движению вниз.

Свойства функций y = sin x и y = cos x

Таблица помогает быстро сравнить две функции и выбрать нужные свойства для построения. Сначала найдите область определения и множество значений, затем используйте период и основные точки. По последней строке можно восстановить один период каждой кривой.

Разбор задач

Задача 1

Постройте график y = sin x на отрезке [0; 2π]. Отметьте значения функции при x = 0, π/2, π, 3π/2 и 2π. Нужно получить одну полную волну синусоиды.

1. Вычисляем значения: sin 0 = 0, sin(π/2) = 1, sin π = 0, sin(3π/2) = −1, sin 2π = 0.
2. Отмечаем точки (0; 0), (π/2; 1), (π; 0), (3π/2; −1), (2π; 0).
3. Соединяем точки плавной кривой: сначала поднимаемся от 0 до 1, затем опускаемся через 0 до −1 и возвращаемся к 0.

Ответ: график проходит через указанные пять точек и образует одну полную волну синусоиды на [0; 2π].

Задача 2

По графику y = cos x укажите на отрезке [−2π; 2π] точки, в которых функция равна 0. Затем найдите её наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке.

1. Нули косинуса находятся там, где график пересекает ось x: x = π/2 + πk.
2. Подбираем значения в заданном отрезке: x = −3π/2, −π/2, π/2, 3π/2.
3. По верхним и нижним точкам графика видим, что максимум равен 1, а минимум равен −1. Максимум достигается при x = −2π, 0 и 2π, минимум — при x = −π и π.

Ответ: нули: −3π/2, −π/2, π/2, 3π/2; наибольшее значение 1, наименьшее значение −1.

Задача 3

На одном чертеже постройте графики y = sin x и y = cos x на отрезке [−2π; 2π]. Определите точки их пересечения. Обе кривые строятся по основным точкам и периодичности.

1. В точках пересечения значения функций равны, поэтому решаем sin x = cos x. Получаем x = π/4 + πk.
2. На отрезке [−2π; 2π] подходят x = −7π/4, −3π/4, π/4 и 5π/4.
3. Подставляем эти значения: ординаты чередуются и равны √2/2 или −√2/2.

Ответ: точки пересечения: (−7π/4; √2/2), (−3π/4; −√2/2), (π/4; √2/2), (5π/4; −√2/2).

Типичные ошибки

Путают графики синуса и косинуса, начиная обе кривые одинаково. Так происходит, потому что их формы и значения совпадают после сдвига. Проверьте точку x = 0: синус даёт 0, а косинус — 1.

Считают период равным π. Через π значения действительно повторяются по модулю, но меняют знак: sin(x + π) = −sin x и cos(x + π) = −cos x. Сравните одинаковые значения и убедитесь, что полный повтор происходит через 2π.

Соединяют отмеченные точки отрезками. Такой рисунок создаёт резкие углы и не отражает постепенное изменение функции. Проверяйте себя по форме плавной волны и её симметричному повторению.

Размещают график выше 1 или ниже −1. Ошибка появляется, если перепутать значение функции с аргументом или неверно подписать ось. Проверьте каждую ординату: синус и косинус всегда лежат в пределах [−1; 1].

Связь с другими темами

До построения графиков нужно уметь отмечать точки на координатной плоскости и знать значения синуса и косинуса основных углов. Эти навыки связывают тригонометрию с координатами и единичной окружностью.

Графики нужны для исследования функций, решения простейших уравнений и неравенств. Позже по ним удобно понимать сдвиги, растяжения и другие преобразования графиков.

Что запомнить

• Область определения синуса и косинуса — все действительные числа.
• Значения обеих функций лежат в промежутке [−1; 1].
• Наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2π.
• График y = sin x проходит через точку (0; 0).
• График y = cos x проходит через точку (0; 1).
• Основные точки графиков повторяются через каждые 2π.