§ 1. Вспомним о погрешностях

Определения и обозначения

Точное значение — истинное значение величины, например действительная длина отрезка. Оно отличается от приближённого тем, что не заменяет результат измерения округлённым числом. Точное значение может быть неизвестно, но именно с ним сравнивают результат. Это позволяет понять, насколько измерение близко к действительности.

Приближённое значение — число, которое записывают вместо точного значения, когда его нельзя узнать или указать полностью. Например, длину можно записать как 2,5 м, хотя её точное значение может быть немного больше или меньше. Такая запись удобна для вычислений и передачи результата. Разницу между числами описывают с помощью погрешности.

Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений: Δ = |x − a|, где x — точное значение, a — приближённое. Модуль нужен, потому что погрешность показывает размер отклонения, а не его направление. Это число помогает оценить возможную неточность результата в тех же единицах, что и сама величина.

Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к точному значению, а если оно неизвестно — к приближённому: δ ≈ Δ / |a|. Она показывает, какую долю величины составляет отклонение. Относительную погрешность можно умножить на 100%, чтобы получить процент. Такая оценка нужна, когда требуется сравнить точность измерений величин разного масштаба.

Как это устроено

Результат измерения обычно приближённый, потому что прибор имеет ограниченную точность: его шкала или экран не позволяют различить любые значения. На показание также могут влиять условия измерения и действия человека. В вычислениях приближение появляется, когда число округляют или используют неточные исходные данные. Поэтому точное значение часто неизвестно, а вместе с результатом указывают, насколько он может от него отличаться.

Абсолютная погрешность показывает возможное отклонение приближённого значения от точного. Если точное значение больше приближённого, разность положительна, а если меньше — отрицательна. Однако важен размер отклонения, поэтому берут модуль разности: Δ = |x − a|. Из-за свойства модуля абсолютная погрешность не бывает отрицательной; ноль означает, что значения совпали.

Если приближённое значение равно a, а абсолютная погрешность не превосходит Δ, то |x − a| ≤ Δ. Это неравенство означает, что расстояние от точного значения x до a не больше Δ. Поэтому точное значение находится между a − Δ и a + Δ включительно. Например, для измерения 2,5 м с погрешностью не более 0,1 м возможная длина лежит от 2,4 м до 2,6 м.

Одинаковая абсолютная погрешность может быть существенной для маленькой величины и почти незаметной для большой. Например, ошибка 0,1 м заметна при измерении отрезка длиной 2 м, но гораздо меньше относительно длины 100 м. Относительная погрешность сопоставляет отклонение с величиной самого результата. Поэтому при сравнении измерений разного масштаба обычно сравнивают именно относительные погрешности: меньшее значение означает более точное измерение относительно величины.

При округлении отброшенные цифры могут изменить число, поэтому результат округления не обязательно совпадает с точным. Например, запись до десятых задаёт меньшую детализацию, чем запись до сотых, но число дополнительных знаков само по себе не доказывает точность. Если исходное измерение было неточным, запись множества знаков после запятой лишь создаст впечатление точности. Оценивать результат следует по известной погрешности или точности исходных данных, а не по длине записи.

Виды погрешности приближённого значения

Сначала определите, что именно нужно сравнить: абсолютное отклонение в единицах или его долю от величины. Для измерений одного масштаба часто достаточно абсолютной погрешности. Если масштабы различаются, вычислите относительную погрешность каждого результата и сравните их.

Разбор задач

Задача 1. Приближённое значение величины равно 12,4, точное — 12,7. Найдём абсолютную погрешность. Поскольку нужно измерить размер отклонения, разность берём по модулю, даже если в другом примере приближённое значение окажется больше точного.

1. Обозначим точное значение x = 12,7, а приближённое a = 12,4.
2. Используем формулу Δ = |x − a|.
3. Вычислим: Δ = |12,7 − 12,4| = |0,3| = 0,3.

Ответ: абсолютная погрешность равна 0,3. Модуль оставляет величину отклонения положительной.

Задача 2. Длина отрезка измерена как 2,5 м с абсолютной погрешностью не более 0,1 м. Нужно указать возможные границы точной длины. Погрешность задаёт максимальное расстояние от точного значения до результата, поэтому от приближённой длины отступаем в обе стороны.

1. Запишем приближённое значение a = 2,5 м, а границу погрешности Δ = 0,1 м.
2. Найдём нижнюю границу: a − Δ = 2,5 − 0,1 = 2,4 м.
3. Найдём верхнюю границу: a + Δ = 2,5 + 0,1 = 2,6 м.

Ответ: точная длина находится в пределах от 2,4 м до 2,6 м включительно. Проверка проста: оба края отстоят от 2,5 м не дальше чем на 0,1 м.

Задача 3. Первый прибор показал 10 м с абсолютной погрешностью 0,2 м, второй — 2 м с погрешностью 0,1 м. Абсолютная погрешность первого прибора больше, но сами измеренные величины тоже различаются. Чтобы узнать, какое измерение точнее относительно величины, сравним доли ошибок.

1. Для первого прибора: δ₁ ≈ 0,2 / 10 = 0,02, то есть 2%.
2. Для второго прибора: δ₂ ≈ 0,1 / 2 = 0,05, то есть 5%.
3. Сравним: 2% меньше 5%, значит относительная погрешность первого измерения меньше.

Ответ: точнее первое измерение. Хотя его абсолютная погрешность больше, она составляет меньшую долю измеренной длины.

Типичные ошибки

Вычитать без модуля. Иногда разность точного и приближённого значений принимают за погрешность, поэтому получают отрицательное число. Так происходит, если забыть, что погрешность показывает размер отклонения, а не то, в какую сторону оно произошло. Проверьте запись по формуле Δ = |x − a|: результат не может быть меньше нуля.

Путать абсолютную и относительную погрешности. Их могут смешивать, потому что обе описывают неточность результата. Но абсолютная погрешность выражается в единицах величины, а относительная — это отношение, обычно доля или процент. Проверьте, есть ли у ответа единица измерения: у абсолютной она должна быть, у относительной — нет.

Сравнивать измерения только по абсолютной погрешности. Меньшая ошибка в метрах не всегда означает более точный результат, если сравниваются разные по размеру длины. Причина в том, что одно и то же отклонение составляет разную долю от маленькой и большой величины. Для разного масштаба найдите относительную погрешность каждого измерения.

Учитывать отклонение только в одну сторону. Если к приближённому значению прибавить погрешность, но не вычесть её, часть возможных точных значений потеряется. Погрешность ограничивает расстояние от результата и сверху, и снизу. Проверьте границы: они должны быть a − Δ и a + Δ, а приближённое значение должно находиться между ними.

Связь с другими темами

Для работы с погрешностями понадобятся модуль числа, действия с десятичными дробями и правила округления. Модуль помогает получить неотрицательное отклонение, а вычисления с десятичными дробями — найти его величину и границы возможного значения. Понимание погрешности пригодится при решении задач на измерения и оценке точности вычислений. Эти знания служат основой для дальнейшего изучения приближённых вычислений.

Что запомнить

• Приближённое значение может отличаться от точного.
• Абсолютная погрешность равна модулю разности точного и приближённого значений.
• Абсолютная погрешность неотрицательна и выражается в тех же единицах, что и величина.
• Точное значение находится не дальше абсолютной погрешности от приближённого.
• Относительная погрешность сопоставляет абсолютную погрешность с величиной самого значения.
• Для сравнения точности измерений разных по масштабу величин полезна относительная погрешность.