"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Метод деления отрезка пополам помогает находить приближённые корни уравнений, когда точное решение получить трудно или невозможно. Сначала выбирают отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, а затем последовательно делят его пополам. После каждой проверки оставляют половину, содержащую корень. Длина отрезка уменьшается вдвое, поэтому приближение становится точнее. Остановку выполняют, когда достигнута заданная точность.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство. При численном методе часто находят не точное, а приближённое значение корня. Это нужно, когда корень нельзя удобно выразить обычными формулами.
Отрезок локализации корня — отрезок [a; b], на концах которого функция имеет разные знаки: f(a)·f(b) < 0. Для непрерывной функции это означает, что внутри отрезка находится хотя бы один корень. Такой отрезок задаёт границы поиска.
Метод деления отрезка пополам — способ последовательного уточнения корня, при котором текущий отрезок делят на две равные части. После проверки середины оставляют половину со сменой знака на концах. Так область поиска быстро сужается.
Точность приближённого корня — допустимая величина погрешности результата. Она определяет, когда вычисления можно прекратить и сколько знаков записать в ответе. Чем меньше допустимая погрешность, тем уже должен стать конечный отрезок.
Пусть функция непрерывна на отрезке [a; b], а её значения на концах имеют разные знаки. При движении по графику от точки a к точке b значение функции меняется от положительного к отрицательному или наоборот. Поэтому график должен пересечь ось Ox, а точка пересечения соответствует корню.
Середину текущего отрезка находят по формуле c = (a + b) / 2. Число c расположено ровно посередине между a и b, потому что расстояния c − a и b − c одинаковы. Значит, отрезок разбивается на равные части [a; c] и [c; b].
Далее вычисляют f(c) и сравнивают знаки трёх значений. Если f(a) и f(c) имеют разные знаки, оставляют [a; c]; если разные знаки у f(c) и f(b), оставляют [c; b]. В обоих случаях на новых концах сохраняется условие f(a)·f(b) < 0.
Каждое деление уменьшает длину отрезка в два раза: после первого шага она равна (b − a) / 2, после второго — (b − a) / 4. Поэтому середина оставшегося отрезка всё ближе к корню, если корень единственный или выбранный участок содержит один корень. Уменьшение интервала позволяет заранее оценить возможную ошибку.
Остановиться можно, когда длина текущего отрезка не превосходит заданной погрешности. Если требуется записать корень с определённым количеством знаков, отрезок должен быть достаточно узким для правильного округления. В качестве приближённого корня обычно берут середину последнего отрезка и записывают её с нужной точностью.
| Этап | Что вычисляем или проверяем | Действие | Результат |
|---|---|---|---|
| Выбор начального отрезка | Знаки f(a) и f(b) | Убедиться, что f(a)·f(b) < 0 | Найден отрезок, содержащий корень |
| Нахождение середины | c = (a + b) / 2 | Разделить текущий отрезок пополам | Два новых подотрезка |
| Проверка середины | Знак f(c) и сравнение с f(a), f(b) | Оставить половину со сменой знака на концах | Новый отрезок локализации |
| Условие остановки | Длина отрезка или требуемая погрешность | Остановить деление при достижении заданной точности | Приближённое значение корня |
Таблицу удобно читать сверху вниз, выполняя этапы в указанном порядке. После каждого вычисления середины проверяйте именно знаки на концах, а не только величины значений функции. Последнюю строку применяют, когда интервал стал достаточно коротким для требуемого ответа.
Найдём корень с точностью до 0,1 на отрезке [1; 2]. Здесь f(x) = x² − 2, f(1) = −1, f(2) = 2, поэтому смена знака есть.
Ответ: √2 ≈ 1,4 с точностью до 0,1.
На [0; 1] функция f(x) = x³ + x − 1 принимает значения −1 и 1, поэтому корень локализован. Будем сужать отрезок до длины не более 0,01.
Ответ: x ≈ 0,68 с точностью до 0,01.
Рассмотрим f(x) = cos x − x на [0; 1]. Имеем f(0) = 1, а f(1) ≈ −0,460, поэтому непрерывная функция имеет корень внутри отрезка.
Ответ: x ≈ 0,739 с точностью до 0,001.
Начинают без проверки смены знака. Ученик сразу делит отрезок, хотя f(a) и f(b) могут иметь один знак. Проверяйте произведение f(a)·f(b): оно должно быть отрицательным.
Выбирают половину по величине функции. Самое маленькое значение f(c) не обязательно указывает на нужную половину. Сравнивайте знаки и сохраняйте их смену на концах нового отрезка.
Неверно находят середину или длину. Ошибка в формуле c = (a + b) / 2 нарушает весь дальнейший расчёт. После каждого шага пересчитывайте оба конца и проверяйте, что новая длина вдвое меньше прежней.
Слишком рано округляют или останавливаются. Грубое округление промежуточных значений может изменить знак функции, а одного деления обычно недостаточно. Храните несколько запасных знаков и прекращайте вычисления только после достижения заданной точности.
До изучения метода нужны понятия функции, корня уравнения, знака числа, координатного отрезка и вычисления значения функции. Без них невозможно проверить исходный интервал и правильно выбрать его половину.
Метод связан с графическим решением: корень — это абсцисса точки пересечения графика с осью Ox. Его теоретическая основа — теорема о промежуточном значении непрерывной функции.
Метод особенно полезен для уравнений, корни которых нельзя выразить стандартными формулами. Он также служит простым примером численных методов, применяемых в математике и вычислительной технике.
Почему обязательно нужна смена знака функции на концах отрезка?
Для непрерывной функции смена знака означает, что при переходе от одного конца к другому график пересечёт ось Ox. Значит, внутри отрезка есть хотя бы один корень. Без смены знака метод не гарантирует наличие корня.
Что делать, если значение функции в середине отрезка равно нулю?
Тогда середина и есть точный корень уравнения. Деление можно сразу прекратить и записать найденное значение.
Как понять, какую из двух половин нужно оставить?
Вычислите значение функции в середине и сравните его знак со знаками на концах. Оставьте ту половину, на концах которой значения имеют разные знаки, то есть выполняется f(a)·f(b) < 0.
Сколько раз нужно делить отрезок пополам для заданной точности?
После n делений длина отрезка станет равной (b − a) / 2ⁿ. Выбирают такое n, чтобы эта длина была не больше допустимой погрешности или подходила для требуемого округления.
Можно ли применять метод, если на отрезке находится несколько корней?
Да, но метод найдёт один из корней, если на концах отрезка есть смена знака. Чтобы исследовать остальные корни, отрезок обычно разбивают на меньшие части и проверяют каждую отдельно.
§ 2. Приближённое вычисление корней методом деления отрезка пополам
