§ 3. Метод исчерпывания

Определения и обозначения

Метод исчерпывания — способ нахождения площади или длины фигуры через последовательное приближение более простыми фигурами. Сначала выбирают фигуры, площадь которых легко вычислить, а затем делают их всё более похожими на исходную. Этот метод нужен, когда для сложной фигуры нет очевидной формулы.

Вписанная фигура — фигура, расположенная внутри данной так, что её стороны или вершины соприкасаются с границей исходной фигуры. Например, квадрат можно вписать в круг, разместив его вершины на окружности. Такая фигура не выходит за границу круга и помогает получить оценку снизу.

Описанная фигура — фигура, внутри которой расположена исходная, причём её стороны касаются границы исходной фигуры. Например, вокруг круга можно описать квадрат, стороны которого касаются окружности. Такая фигура содержит исходную и позволяет получить оценку сверху.

Оценка снизу — значение, не превосходящее искомую величину, а оценка сверху — значение, не меньшее её. Если искомая площадь S, то это записывают так: нижняя оценка ≤ S ≤ верхняя оценка. Две оценки нужны, чтобы ограничить неизвестную величину с обеих сторон.

Как это устроено

Сложную фигуру можно заменить вписанной простой фигурой, потому что вся вписанная фигура находится внутри исходной. При этом каждая её часть принадлежит исходной фигуре, поэтому её площадь не может быть больше площади исходной. Так получают неравенство Sвписанной ≤ Sисходной, то есть оценку снизу.

Описанная фигура, наоборот, содержит исходную целиком. Чтобы покрыть исходную фигуру, описанная фигура может иметь лишние части, поэтому её площадь не меньше искомой. Получается неравенство Sисходной ≤ Sописанной, и искомая площадь оказывается между нижней и верхней оценками.

Для круга удобно брать правильные многоугольники с одинаковым числом сторон: один вписан в круг, другой описан около него. Если сторон мало, между прямыми сторонами многоугольников и дугами круга остаются заметные промежутки. При увеличении числа сторон каждый участок границы становится короче, поэтому многоугольники лучше повторяют форму круга.

Чем точнее многоугольники повторяют границу круга, тем меньше различаются их площади. Значит, разность между верхней и нижней оценками уменьшается. Для любого заранее выбранного положительного числа можно подобрать такое число сторон, чтобы эта разность стала меньше этого числа.

Если нижняя и верхняя оценки сближаются с одним и тем же значением, исходная площадь не может отличаться от него. Иначе между оценками оставался бы заметный промежуток. Поэтому совпадение предельных значений приближений позволяет получить точную формулу, а не только приблизительный результат.

Сравнение вписанных и описанных фигур в методе исчерпывания

Таблица показывает, с какой стороны каждая фигура ограничивает искомую величину. При решении задачи сначала определите положение фигуры, затем выберите направление неравенства. Последняя строка объясняет, почему последовательное усложнение фигур повышает точность.

Разбор задач

Квадрат внутри круга

В круг радиуса 1 вписан квадрат. Нужно найти площадь квадрата и использовать её как нижнюю оценку площади круга. Диагональ квадрата совпадает с диаметром круга, поэтому её длина равна 2. Это связывает сторону квадрата с известным радиусом.

1. Пусть a — сторона квадрата. По теореме Пифагора его диагональ равна a√2.
2. Получаем a√2 = 2, откуда a = √2.
3. Площадь квадрата равна a² = (√2)² = 2.
4. Квадрат находится внутри круга, поэтому Sквадрата ≤ Sкруга.

Ответ: площадь квадрата равна 2, и она даёт нижнюю оценку площади круга: Sкруга ≥ 2. Равенство здесь утверждать нельзя, потому что в углах круга остаются части, не покрытые квадратом.

Сравнение оценок для круга радиуса 1

В круг вписаны правильный шестиугольник и квадрат, а около круга описан квадрат. Нужно расположить площади фигур и понять, какая оценка ближе к площади круга. У вписанных фигур площади меньше площади круга, а у описанного квадрата площадь больше неё.

1. Вписанный квадрат имеет площадь 2, как показано в предыдущей задаче.
2. У правильного шестиугольника со стороной 1 площадь равна 3√3/2, то есть примерно 2,60.
3. Описанный квадрат имеет сторону, равную диаметру круга: a = 2, поэтому его площадь равна 4.
4. Оценки располагаются так: 2 < 3√3/2 < Sкруга < 4.

Ответ: квадрат даёт нижнюю оценку 2, шестиугольник — более высокую нижнюю оценку примерно 2,60, а описанный квадрат — верхнюю оценку 4. Увеличение числа сторон должно сделать границы ещё точнее.

Площадь круга радиуса r

Рассмотрим правильные многоугольники, вписанные в круг радиуса r, и такие же многоугольники, описанные около него. Их площади образуют нижние и верхние оценки площади круга. При увеличении числа сторон обе последовательности приближаются к одному значению.

1. Для каждого многоугольника найдём отношение его площади к r². Это отношение зависит только от числа сторон, а не от радиуса.
2. При увеличении числа сторон отношение площади вписанного многоугольника к r² приближается к одному числу π.
3. Отношение площади описанного многоугольника к r² также приближается к π, потому что разность оценок стремится к нулю.
4. Следовательно, площадь круга должна быть равна πr².

Ответ: Sкруга = πr². Метод исчерпывания обосновывает формулу тем, что площадь круга зажата между площадями многоугольников, которые приближаются к одному и тому же значению.

Типичные ошибки

Считать площадь вписанной фигуры равной площади исходной — ошибка, потому что между их границами могут оставаться незаполненные части. Так поступают, когда путают приближение с точным совпадением. Проверьте себя: для вписанной фигуры должно выполняться строгое или нестрогое неравенство Sвписанной ≤ Sисходной.

Путать вписанную и описанную фигуры — значит менять направление неравенства. Вписанная фигура находится внутри и даёт оценку снизу, а описанная окружает исходную и даёт оценку сверху. Полезно сначала мысленно заштриховать исходную фигуру и проверить, какая из фигур содержит другую.

Утверждать, что одной или двух замен достаточно, нельзя, поскольку метод основан на последовательном уточнении. Пара первых многоугольников только показывает общий принцип и не гарантирует нужной точности. Нужно проверить, уменьшается ли разность верхней и нижней оценок.

Совпадение нескольких округлённых значений не доказывает равенство. Например, разные числа после округления могут выглядеть одинаково. Строгая проверка требует показать, что разность оценок можно сделать сколь угодно малой.

Связь с другими темами

До изучения метода нужны формулы площадей многоугольников, свойства окружности и круга, а также понятия вписанной и описанной окружности. Позже этот подход подготовит к изучению предела, числа π и площадей сложных фигур. В практике он помогает оценивать величины, которые нельзя сразу вычислить по простой формуле: объект зажимают между нижней и верхней оценками.

Что запомнить

• Вписанная фигура даёт оценку снизу.
• Описанная фигура даёт оценку сверху.
• Искомая величина находится между двумя оценками.
• Увеличение числа сторон улучшает приближение.
• Разность верхней и нижней оценок должна стремиться к нулю.
• Метод исчерпывания позволяет обосновать точное значение через приближения.
• Метод связан с идеей предела.