§ 4. Метод последовательных приближений

Определения и обозначения

Последовательные приближения — способ находить решение, многократно уточняя его по одному и тому же правилу. Вместо одного сложного вычисления получают цепочку чисел, каждое из которых должно быть ближе к корню. Такой способ нужен, когда точную формулу найти трудно.

Приближение — значение, близкое к точному решению, но не обязательно совпадающее с ним. Например, 0,62 может быть приближением числа 0,618… Чем меньше ошибка, тем точнее результат.

Итерация — один шаг вычисления: получение нового приближения из предыдущего. Если из x₀ получили x₁, это первая итерация, а переход от x₁ к x₂ — следующая. Подсчёт итераций помогает понять, сколько раз применили правило.

Рекуррентное правило — формула, задающая каждое следующее приближение через предыдущее. Обычно её записывают так: xₙ₊₁ = f(xₙ). Она превращает повторяющееся действие в точный алгоритм.

Как это устроено

Сначала уравнение преобразуют так, чтобы неизвестное оказалось слева, а справа стояло выражение с этим же неизвестным: x = f(x). Если число x является решением, после подстановки оно не изменится: f(x) = x. Поэтому корень исходного уравнения становится неподвижным значением выбранного правила.

Затем выбирают начальное приближение x₀ и подставляют его в правую часть. Получают x₁ = f(x₀), после чего используют уже это значение: x₂ = f(x₁). Повторение возможно потому, что каждое вычисление имеет одну и ту же форму, а предыдущий результат служит исходными данными для следующего шага.

При удачном преобразовании новые числа становятся ближе к корню. Это происходит, когда правило не усиливает небольшую ошибку, а уменьшает её при переходе от одного шага к другому. Если приближения расходятся или постоянно скачут, причина обычно в неподходящей формуле или начальном значении, поэтому такую схему заменяют.

Вычисления прекращают не после заранее заданного количества шагов, а когда достигнута нужная точность. Для этого сравнивают соседние значения: если |xₙ₊₁ − xₙ| достаточно мало, дальнейшее изменение несущественно для ответа. Число округляют с учётом требования задачи, например до сотых.

Проверка нужна потому, что близость двух соседних чисел сама по себе не гарантирует правильности. Подставьте найденное приближение в исходное уравнение и оцените получившуюся ошибку. Если равенство выполняется с нужной точностью, результат можно считать надёжным.

Схема метода последовательных приближений

Таблицу удобно использовать как короткий алгоритм решения. Нельзя переходить к следующему этапу, пропуская начальное значение или проверку сходимости. В конце ответ записывают вместе с указанием точности.

Разбор задач

Задача 1

Найти приближённое решение уравнения x = (x + 2) / 3, начиная с x₀ = 0. Здесь правило уже задано, поэтому нужно только последовательно подставлять предыдущее значение. Сравним несколько результатов и увидим, как они приближаются к корню.

1. Записываем правило: xₙ₊₁ = (xₙ + 2) / 3.
2. Получаем x₁ = 2/3 ≈ 0,667, x₂ = 0,889, x₃ = 0,963, x₄ = 0,988.
3. Следующие значения приближаются к 1, поэтому корень равен примерно 1.

Ответ: x ≈ 1.

Задача 2

Приближённо решить x² + x − 1 = 0, преобразовав его к виду x = 1 / (x + 1), при x₀ = 0,5. Такое преобразование получается из x(x + 1) = 1. Применяем правило xₙ₊₁ = 1 / (xₙ + 1).

1. x₁ = 1/1,5 ≈ 0,667; x₂ = 1/1,667 ≈ 0,600; x₃ ≈ 0,625.
2. Далее получаем примерно 0,615; 0,619; 0,618; 0,618.
3. Значения колеблются около одного числа, но разность соседних приближений уменьшается.

Ответ: x ≈ 0,618, или до сотых x ≈ 0,62.

Задача 3

Найти корень x³ + x − 1 = 0 с точностью до сотых. Выразим x: x(x² + 1) = 1, значит, x = 1/(x² + 1); возьмём x₀ = 0,5. Это правило удобно, потому что при положительных значениях оно приводит приближения к корню.

1. x₁ = 0,800; x₂ ≈ 0,610; x₃ ≈ 0,729; x₄ ≈ 0,652.
2. Продолжая вычисления, получаем x₅ ≈ 0,702, x₆ ≈ 0,670, x₇ ≈ 0,690, x₈ ≈ 0,677.
3. Затем значения колеблются около 0,68: x₉ ≈ 0,686, x₁₀ ≈ 0,680, x₁₁ ≈ 0,684.
4. Соседние значения уже отличаются менее чем на 0,01, поэтому округляем корень до сотых.

Ответ: x ≈ 0,68.

Типичные ошибки

Любое преобразование считают подходящим. Формула может давать расходящуюся последовательность, даже если уравнение преобразовано верно. Проверяйте несколько первых итераций и сравнивайте их с предполагаемым корнем.

Забывают начальное приближение. Без x₀ нельзя вычислить x₁, поэтому цепочка не имеет отправной точки. Всегда записывайте начальное значение рядом с рекуррентным правилом.

Слишком рано округляют промежуточные результаты. Маленькие ошибки накапливаются и меняют последующие значения. Сохраняйте несколько лишних знаков, а округляйте только итоговый ответ.

Несколько близких чисел принимают за доказательство точности. Приближения могут временно совпасть или колебаться. Сравните их разность с требуемой погрешностью и выполните подстановку в исходное уравнение.

Связь с другими темами

До изучения метода нужны преобразования уравнений, подстановка чисел в выражения, действия с десятичными дробями и округление. Эти навыки позволяют правильно получить правило и без лишних ошибок выполнить итерации.

Метод пригодится при приближённом решении уравнений, корни которых трудно или невозможно найти точными вычислениями. Он связывает алгебраические преобразования с практическими вычислениями и оценкой погрешности.

Что запомнить

• Метод строит цепочку приближений по повторяющемуся правилу.
• Каждое новое значение вычисляют из предыдущего.
• Начальное приближение влияет на ход вычислений.
• Не всякое преобразование уравнения даёт сходящуюся последовательность.
• Число итераций выбирают с учётом требуемой точности.
• Найденное приближение полезно проверить в исходном уравнении.