2. Метод последовательных приближений

Определения и обозначения

Метод последовательных приближений — способ находить приближённое решение, многократно вычисляя новые значения по заданному правилу. Вместо попытки сразу получить точный корень мы строим последовательность чисел, которая может к нему приблизиться. Метод полезен, когда уравнение сложно решить точно или когда достаточно ответа с заданной точностью.

Итерация — один шаг вычислений, на котором из текущего приближения получают следующее. Например, переход от x₀ к x₁ — первая итерация, а от x₁ к x₂ — вторая. Нумерация помогает записывать вычисления и видеть, как меняются значения.

Итерационная формула — правило перехода от приближения xₙ к следующему xₙ₊₁. Для уравнения x = φ(x) её записывают так: xₙ₊₁ = φ(xₙ). Такая запись позволяет повторять вычисления по одному алгоритму, не подбирая новый способ на каждом шаге.

Приближённый корень — найденное числом значение, которое удовлетворяет уравнению с заданной точностью. Он может немного отличаться от точного корня, поэтому рядом с ответом указывают округление или точность. Это помогает понять, насколько результат подходит для конкретной задачи.

Как это устроено

Сначала уравнение преобразуют к виду x = φ(x), а затем задают формулу xₙ₊₁ = φ(xₙ). Такой вид нужен, чтобы неизвестное значение справа можно было вычислять из уже известного приближения слева. При этом одно и то же уравнение иногда можно преобразовать несколькими способами, но полученные итерационные формулы будут вести себя по-разному.

Расчёт начинают с выбранного начального приближения x₀; каждый следующий член зависит от предыдущего. Значение x₀ подставляют в φ и получают x₁, затем подставляют x₁ и находят x₂. Начальная точка нужна потому, что правило само по себе не задаёт первое число, и её выбор может повлиять на дальнейший ход вычислений.

Если последовательность приближений сходится к числу a, то при непрерывности φ это число является решением уравнения x = φ(x). Действительно, при переходе к пределу в равенстве xₙ₊₁ = φ(xₙ) левая и правая части стремятся соответственно к a и φ(a). Значит, a = φ(a), что и есть условие исходного уравнения в преобразованном виде.

Сходимость зависит от выбранного преобразования и начального приближения: не всякая итерационная формула приводит к корню. Значения могут удаляться от решения, колебаться или приближаться к другому корню. Поэтому перед вычислениями полезно рассмотреть формулу и область, в которой ищется корень, а после нескольких шагов — проверить поведение чисел.

Остановку вычислений обосновывают заданной точностью: например, сравнивают соседние приближения или используют оценку погрешности. Разность |xₙ₊₁ − xₙ| показывает, насколько изменился ответ за один шаг, но сама по себе не всегда равна ошибке относительно точного корня. Чтобы гарантировать требуемую точность, нужно знать, как эта разность связана с погрешностью для выбранного метода.

Организация вычислений методом последовательных приближений

Заполняйте строку за строкой: каждое вычисленное значение становится входным для следующего шага. Разность соседних приближений помогает следить за изменениями и служит критерием остановки, если для метода обоснована связь с точностью. Записывайте достаточно цифр в промежуточных вычислениях, чтобы округление не исказило результат.

Разбор задач

Положительный корень уравнения x² = 2

Найдём приближение по формуле xₙ₊₁ = (xₙ + 2/xₙ)/2 при x₀ = 1. Каждый шаг усредняет текущее значение и число 2/xₙ, поэтому пересчитывать будем последовательно. Для простоты округлим результаты до четырёх знаков после запятой.

1. Подставим x₀ = 1: x₁ = (1 + 2/1)/2 = 1,5. Первое значение уже ближе к √2, чем единица.

2. Используем x₁: x₂ = (1,5 + 2/1,5)/2 ≈ 1,4167. Теперь найдём разность: |x₂ − x₁| ≈ 0,0833.

3. Продолжим: x₃ = (1,4167 + 2/1,4167)/2 ≈ 1,4142. Разность |x₃ − x₂| ≈ 0,0025, то есть приближения заметно стабилизируются.

Получаем √2 ≈ 1,4142. Это приближённый результат; требуемая точность определяет, достаточно ли выполненных шагов.

Уравнение x = cos x

Преобразование уже записано в нужном виде x = φ(x), где φ(x) = cos x. Начинаем с x₀ = 0,5 и на каждом шаге находим косинус предыдущего приближения. Значения косинуса вычисляем в радианах.

1. Первый шаг: x₁ = cos 0,5 ≈ 0,8776. Затем x₂ = cos 0,8776 ≈ 0,6390.

2. Продолжаем: x₃ = cos 0,6390 ≈ 0,8027, x₄ = cos 0,8027 ≈ 0,6948. Члены пока меняются в разные стороны, поэтому одного увеличения или уменьшения недостаточно для вывода о сходимости.

3. Дальнейшие шаги дают примерно x₅ ≈ 0,7682, x₆ ≈ 0,7192, x₇ ≈ 0,7524. Значения колеблются, но изменения становятся меньше; последовательность приближается к числу около 0,7391.

Получаем корень x ≈ 0,7391. Стабилизацию проверяют дальнейшими шагами и точностью, нужной в условии задачи.

Уравнение x² − x − 1 = 0

Для положительного корня преобразуем уравнение: x² = x + 1, поэтому при x ≠ 0 получаем x = 1 + 1/x. Итерационная формула имеет вид xₙ₊₁ = 1 + 1/xₙ, а начальное приближение задано: x₀ = 1. Важно использовать именно полученное преобразование и каждый раз подставлять предыдущее значение.

1. Считаем x₁ = 1 + 1/1 = 2. Затем x₂ = 1 + 1/2 = 1,5.

2. Продолжаем: x₃ = 1 + 1/1,5 ≈ 1,6667, x₄ = 1 + 1/1,6667 ≈ 1,6. Члены поочерёдно оказываются выше и ниже предельного значения.

3. Следующие значения: x₅ ≈ 1,625, x₆ ≈ 1,6154, x₇ ≈ 1,6190. По мере продолжения итераций они стабилизируются около 1,6180.

Выбранные формула и начальное значение ведут к положительному корню, приблизительно равному 1,6180. Проверка подстановкой показывает, что x² − x − 1 близко к нулю; точность ответа следует указывать отдельно.

Типичные ошибки

Начинают вычисления, не приведя уравнение к виду x = φ(x), поэтому неясно, по какому правилу находить следующие приближения. Это случается, когда сразу пытаются подставлять числа в исходное уравнение. Перед расчётами запишите итерационную формулу и проверьте, что из неё действительно можно получить xₙ₊₁.

Считают, что любая итерационная формула обязательно сходится к корню, хотя сходимость зависит от преобразования и начального значения. Так думают, потому что повторение одного правила выглядит как надёжный алгоритм. Проверяйте несколько шагов и помните: если значения уходят от искомого корня или не стабилизируются, способ может быть неудачным.

Подменяют приближённое решение точным и не указывают, с какой точностью получен результат. Обычно это происходит после округления вычислений: число с несколькими знаками кажется окончательным. Обозначайте его как приближённое, например √2 ≈ 1,4142, и соотносите количество знаков с требуемой точностью.

Останавливают вычисления после нескольких шагов без проверки точности или сходимости. Само количество итераций ничего не гарантирует: в одном случае ответ быстро стабилизируется, в другом ему нужно больше шагов. Перед остановкой проверьте изменение соседних значений и, если она доступна, оценку погрешности.

Связь с другими темами

Для метода нужно уметь преобразовывать уравнения и вычислять значения функций, в том числе с помощью калькулятора. Его связь с числовыми последовательностями и пределом объясняет, почему цепочку приближений рассматривают как последовательность, сходящуюся к корню. Позже этот подход пригодится при численном решении уравнений, для которых трудно или невозможно получить точную формулу.

Что запомнить

• Итерации получают повторным применением одного и того же правила.
• Для уравнения x = φ(x) используют формулу xₙ₊₁ = φ(xₙ).
• Для начала вычислений необходимо выбрать x₀.
• Сходимость зависит от формулы итерации и начального приближения.
• Полученное значение является приближённым и имеет определённую точность.