§ 27. Умножение и деление алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются выражениями, например 2/x или (x + 1)/(x − 3). Знаменатель такой дроби не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Поэтому для 2/x значение x = 0 запрещено. Это условие помогает сразу определить, при каких значениях переменной выражение имеет смысл.

Умножение алгебраических дробей — действие, при котором перемножают числители дробей и отдельно перемножают их знаменатели. Например, при умножении a/b на c/d получают ac/bd. Знаменатели исходных дробей должны быть ненулевыми. Это правило позволяет выполнять действия с выражениями так же последовательно, как с обыкновенными дробями.

Обратная дробь получается, если поменять местами числитель и знаменатель исходной дроби: для a/b обратная дробь — b/a. Исходная дробь должна быть ненулевой, иначе её числитель равен нулю и после перестановки возникнет нулевой знаменатель. Например, обратная к 3/5 — 5/3, а к 0/5 обратной дроби нет. Это понятие нужно, чтобы заменить деление дробей умножением.

Деление алгебраических дробей сводится к умножению делимого на дробь, обратную делителю. Если делим a/b на c/d, то умножаем a/b на d/c. Делитель не должен равняться нулю, иначе действие не определено. Поэтому при делении проверяют не только знаменатели дробей, но и то, что сама дробь-делитель не обращается в ноль.

Как это устроено

Правило умножения алгебраических дробей получается из правила для обыкновенных дробей: перемножают числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем. Например, при умножении a/b на c/d числители дают ac, а знаменатели — bd, поэтому получается ac/bd. Алгебраические выражения здесь просто занимают места чисел. Нужно лишь следить, чтобы знаменатели обеих дробей не были нулевыми.

Перед умножением часто удобно разложить многочлены на множители, то есть представить их в виде произведения более простых выражений. Например, x² − 4 можно записать как (x − 2)(x + 2). Если один и тот же ненулевой множитель есть и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить: произведение становится короче, а результат не меняется. Но ограничения нужно выписать до сокращения, поскольку упрощённая запись может уже не показывать все запрещённые значения.

При делении дробей мы умножаем делимое на обратную дробь, потому что умножение на обратное число отменяет действие деления. Поэтому в выражении (a/b) : (c/d) переворачивают вторую дробь и получают (a/b) · (d/c). Делитель должен быть ненулевым: деление на ноль невозможно. В частности, дробь c/d равна нулю, если её числитель c равен нулю, поэтому такие значения тоже исключают.

При делении сначала найди допустимые значения переменной: проверь знаменатели обеих исходных дробей и значения, при которых делитель равен нулю. Затем замени деление умножением на обратную дробь. После этого разложи многочлены на множители, сократи общие множители и запиши результат. Такой порядок не позволяет потерять запретные значения, которые могли исчезнуть из-за сокращения.

Сокращать можно только общие множители — выражения, которые перемножаются в числителе и знаменателе. Например, в дроби x(x + 2)/x можно сократить множитель x при x ≠ 0. Но в дроби (x + 2)/x нельзя сократить x с частью суммы: x + 2 не является произведением x на другой множитель. Проверка проста: сначала разложи выражения на множители, и только потом ищи одинаковые множители сверху и снизу.

Умножение и деление алгебраических дробей

Пользуйся таблицей как коротким планом вычислений: сначала выбери действие, затем примени правило и выполни проверку. В строке про ограничения указано, что запреты определяют по исходным дробям, а при делении дополнительно проверяют ненулевой делитель. Если выражения можно разложить на множители, сделай это до окончательного умножения.

Разбор задач

Задача 1. Выполнить умножение дробей 2/x и 3/(x + 1), указав допустимые значения переменной. Сначала проверяем знаменатели: x и x + 1. Затем используем правило умножения и записываем ограничения, не дожидаясь упрощения результата.

1. Из условий x ≠ 0 и x + 1 ≠ 0 получаем x ≠ 0 и x ≠ −1.
2. Перемножаем числители и знаменатели: (2/x) · (3/(x + 1)) = 6/[x(x + 1)].
3. Общие множители для сокращения отсутствуют, поэтому дробь уже упрощена.

Ответ: 6/[x(x + 1)], x ≠ 0, x ≠ −1. Запреты получены из знаменателей исходных дробей.

Задача 2. Упростить произведение (x² − 4)/(x + 1) и (x + 1)/(x − 2). Здесь выражение x² − 4 удобно разложить как разность квадратов. До сокращения важно отметить все ограничения, которые задают знаменатели исходных дробей.

1. Из x + 1 ≠ 0 и x − 2 ≠ 0 получаем x ≠ −1 и x ≠ 2.
2. Разлагаем разность квадратов: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
3. Перемножаем: [(x − 2)(x + 2)/(x + 1)] · [(x + 1)/(x − 2)].
4. Сокращаем общие множители x + 1 и x − 2. Получаем x + 2, сохраняя исходные ограничения.

Ответ: x + 2, x ≠ −1, x ≠ 2. Сокращение упростило выражение, но не изменило допустимые значения исходной записи.

Задача 3. Выполнить деление (x² − 9)/(x² + 2x + 1) на (x − 3)/(x + 1) и найти допустимые значения переменной. Здесь нужно учесть, что дробь-делитель не может равняться нулю. Поэтому сначала проверяем знаменатели и числитель делителя, а уже потом преобразуем выражение.

1. Знаменатель первой дроби: x² + 2x + 1 = (x + 1)², значит x ≠ −1. Знаменатель делителя x + 1 тоже запрещает x = −1.
2. Делитель равен нулю при x − 3 = 0, если его знаменатель не равен нулю. Поэтому дополнительно исключаем x = 3.
3. Меняем деление на умножение на обратную дробь: [(x² − 9)/(x² + 2x + 1)] · [(x + 1)/(x − 3)].
4. Разлагаем: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), x² + 2x + 1 = (x + 1)². Сокращаем общие множители и получаем (x + 3)/(x + 1).

Ответ: (x + 3)/(x + 1), x ≠ −1, x ≠ 3. Значение x = 3 остаётся запрещённым, хотя после сокращения его не видно.

Типичные ошибки

При умножении иногда перемножают числитель одной дроби со знаменателем другой. Так делают, путая умножение с перекрёстным умножением, но оно здесь не применяется. Перемножай числители между собой, а знаменатели — между собой. Для самопроверки запиши произведение в виде одной дроби и отдельно проверь её верхнюю и нижнюю части.

При делении можно забыть обратить вторую дробь и просто перемножить записи как при умножении. Ошибка возникает, когда ученик торопится и не заменяет действие деления. Сначала перепиши знак деления как умножение, затем переверни делитель. Проверь, что первая дробь осталась на месте, а обратной стала именно вторая.

Нельзя сокращать отдельные слагаемые в сумме или разности, например вычёркивать x в выражении (x + 2)/x. Это кажется удобным, но сумма x + 2 не является произведением, в котором можно выделить и сократить множитель x. Сначала разложи числитель и знаменатель на множители. Если общих множителей нет, сокращать нечего.

Ещё одна ошибка — записать только ограничения, заметные в итоговой дроби. После сокращения часть множителей исчезает, но исходное выражение всё равно не определено при некоторых значениях переменной; при делении также запрещён нулевой делитель. Найди ограничения до упрощения и сохрани их в ответе. Для проверки подставь каждое исключённое значение в исходную запись и выясни, какой знаменатель или делитель нарушает условие.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны свойства обыкновенных дробей: именно на них основаны правила умножения и деления. Также нужно помнить, что знаменатель не может равняться нулю, и уметь раскладывать многочлены на множители, чтобы сокращать дроби. Эти навыки пригодятся при сложении и вычитании алгебраических дробей, а затем — при преобразовании рациональных выражений. Умение сохранять ограничения помогает не включать в ответ значения, при которых исходная запись не имеет смысла.

Что запомнить

• При умножении дробей отдельно перемножают числители и знаменатели.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Делитель не должен равняться нулю.
• Знаменатели исходных дробей должны быть ненулевыми.
• Сокращают только общие множители.
• Ограничения на переменную проверяют до упрощения выражения.