§ 28. Совместные действия над алгебраическими дробями

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями; знаменатель не должен быть равен нулю. Например, x/(x + 1) — алгебраическая дробь, если x ≠ −1. Это обозначение помогает записывать выражения с переменными, но одновременно напоминает: нужно проверять, при каких значениях дробь имеет смысл.

Общий знаменатель — выражение, которое делится на каждый из знаменателей складываемых или вычитаемых дробей. Так, для знаменателей x и x + 2 общим знаменателем будет x(x + 2). Он нужен, чтобы представить дроби в виде долей одного и того же целого и затем выполнить сложение или вычитание.

Произведение алгебраических дробей — дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Например, a/b · c/d = ac/bd, если b и d не равны нулю. Это правило позволяет выполнять умножение, не подбирая общий знаменатель.

Частное алгебраических дробей — произведение первой дроби на дробь, обратную второй; делитель не должен быть равен нулю. Например, a/b : c/d = a/b · d/c, если обе дроби определены и c/d ≠ 0. Определение превращает деление в уже знакомое умножение и помогает не перепутать, какую дробь нужно перевернуть.

Как это устроено

Если знаменатели одинаковые, дроби уже выражены в одинаковых долях. Поэтому достаточно сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить прежним: 2/7 + 3/7 = 5/7. Менять знаменатель не нужно, ведь размер каждой доли остаётся тем же. При разных знаменателях сначала нужно получить одинаковые доли, иначе складываются части разной величины.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, подбирают выражение, кратное каждому исходному знаменателю. Затем определяют, на какой множитель нужно домножить каждую дробь, и умножают на него и числитель, и знаменатель. Например, к знаменателю 6 дробь 1/2 приводят так: домножают её на 3/3 и получают 3/6. Дробь не меняется, потому что умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число равносильно умножению на 1.

При умножении дробей отдельно перемножают числители и знаменатели. Если в числителе и знаменателе есть одинаковые множители, их удобно сократить до перемножения: выражение становится короче и уменьшается риск ошибки в вычислениях. Сокращение допустимо именно для множителей, потому что общий множитель можно разделить и сверху, и снизу. При этом нельзя забывать, что исходные знаменатели не должны быть нулевыми.

Деление дробей заменяют умножением на обратную дробь: у дроби-делителя меняют местами числитель и знаменатель. Например, 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4. Это работает потому, что деление на число равносильно умножению на обратное ему число. Делитель должен быть отличен от нуля, иначе действие не определено; поэтому перед вычислением проверяют и это условие.

В выражении с несколькими действиями сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Такой порядок нужен, чтобы одно выражение давало одинаковый результат при любом способе его чтения. Перед сокращением выражение полезно разложить на множители: сокращают только множители, а не слагаемые. Также сначала записывают ограничения на переменные, поскольку упрощение дроби не делает допустимыми значения, при которых исходный знаменатель равнялся нулю.

Правила совместных действий над алгебраическими дробями

Пользуйся таблицей как коротким планом: сначала определи действие и проверь знаменатели, затем выбери подходящее правило. При нескольких действиях отдельно проследи за порядком выполнения и условиями, при которых выражение определено.

Разбор задач

Задача 1. Выполните действие: 3/(x + 1) + 2/(x + 1). Знаменатели совпадают, поэтому общий знаменатель уже есть. Сначала укажем значение, при котором исходные дроби не определены.

1. Из условия x + 1 ≠ 0 получаем x ≠ −1.
2. Складываем числители и сохраняем знаменатель: 3/(x + 1) + 2/(x + 1) = (3 + 2)/(x + 1).
3. Выполняем сложение в числителе и получаем 5/(x + 1).

Ответ: 5/(x + 1), x ≠ −1. Ограничение относится к исходному выражению, поэтому его сохраняют и после упрощения. Проверка проста: при допустимом x знаменатель результата совпадает с исходным и не равен нулю.

Задача 2. Выполните действие: 1/x − 1/(x + 2). Знаменатели разные, значит, сначала представим обе дроби с общим знаменателем x(x + 2). До вычислений запишем значения, при которых исходные дроби не существуют.

1. Из условий x ≠ 0 и x + 2 ≠ 0 получаем x ≠ 0 и x ≠ −2.
2. Первую дробь домножаем на (x + 2)/(x + 2), а вторую — на x/x. Получаем (x + 2)/(x(x + 2)) − x/(x(x + 2)).
3. Знаменатель оставляем, а числители вычитаем: (x + 2 − x)/(x(x + 2)) = 2/(x(x + 2)).

Ответ: 2/(x(x + 2)), x ≠ 0, x ≠ −2. При проверке видно, что каждая дробь была домножена сверху и снизу на один множитель. Ограничения не исчезают, даже если результат записан короче исходного выражения.

Задача 3. Упростите выражение: (x/(x − 1) · (x − 1)/(x + 2)) : (x/(x + 2)). Здесь есть умножение и деление, поэтому деление нужно заменить умножением на обратную дробь-делитель. Ограничения определяем по всему исходному выражению, включая делитель.

1. Знаменатели требуют x ≠ 1 и x ≠ −2. Дробь-делитель x/(x + 2) не должна быть равна нулю, поэтому дополнительно x ≠ 0.
2. В скобках перемножаем дроби: x/(x − 1) · (x − 1)/(x + 2). Сокращаем общий множитель x − 1 и получаем x/(x + 2).
3. Деление заменяем умножением на обратную дробь: x/(x + 2) · (x + 2)/x. Сокращаем общие множители и получаем 1.

Ответ: 1, при x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0. Сокращение упрощает вычисление, но не отменяет ограничений исходного выражения. Отдельная проверка делителя нужна, потому что при x = 0 деление на ноль невозможно.

Типичные ошибки

• При разных знаменателях иногда складывают и сами знаменатели, например записывают 1/2 + 1/3 как 2/5. Так делают, перенося правило сложения чисел на дроби, но доли здесь имеют разный размер. Проверь себя: сначала найди общий знаменатель, а затем складывай только числители.

• При приведении к общему знаменателю можно домножить знаменатель и забыть про числитель. Тогда дробь изменится, хотя нужно получить равную ей дробь. Проверка: множитель сверху и снизу должен быть одним и тем же, например 1/2 = 3/6, а не 1/6.

• При делении иногда переворачивают первую дробь или обе дроби. Это происходит, когда правило помнят не полностью: обратной становится только дробь-делитель. Проверь запись заменой знака деления на умножение и убедись, что местами поменялись числитель и знаменатель именно второй дроби.

• Нельзя сокращать отдельные слагаемые, например в дроби (x + 2)/x, поскольку x не является множителем всего числителя. Такое сокращение ошибочно принимают за обычное деление одинаковых частей. Сокращай только общие множители после разложения на множители и отдельно запиши все ограничения на переменную.

Связь с другими темами

Для действий с алгебраическими дробями нужны навыки нахождения общего знаменателя, разложения выражений на множители и сокращения обычных дробей. Правила сложения и умножения опираются на свойства действий с рациональными числами, а несколько действий выполняют в знакомом порядке. Эти умения пригодятся при преобразовании рациональных выражений и решении рациональных уравнений. Поэтому важно не только получить упрощённую запись, но и сохранить ограничения на переменные.

Что запомнить

• Складывать и вычитать дроби можно после приведения к общему знаменателю.
• При умножении перемножают числители и знаменатели.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Сокращать можно общие множители, но не отдельные слагаемые.
• Перед преобразованиями нужно определить, при каких значениях переменных знаменатели не равны нулю.
• В выражении с несколькими действиями соблюдают порядок действий.