§ 29. Прямоугольная система координат на плоскости

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат — это две числовые оси, пересекающиеся под прямым углом и имеющие общее начало отсчёта. С её помощью положение точки на плоскости можно задать парой чисел, а значит, точно указать, где эту точку найти или построить.

Координатные оси — это горизонтальная ось абсцисс Ox и вертикальная ось ординат Oy. На Ox положительное направление идёт вправо, отрицательное — влево; на Oy положительное направлено вверх, отрицательное — вниз. Эти направления нужны, чтобы правильно определять знак координаты.

Начало координат — точка пересечения осей, обозначаемая O. Она служит общей точкой отсчёта для обеих осей. Её координаты равны нулю: O(0; 0).

Координаты точки — пара чисел (x; y), где x называют абсциссой, а y — ординатой. Числа записывают именно в таком порядке: сначала координату по горизонтали, затем по вертикали. Это позволяет однозначно прочитать запись и найти точку.

Как это устроено

Две оси под прямым углом делят плоскость на четыре части, называемые четвертями. Это происходит потому, что каждая ось делит плоскость пополам, а их пересечение образует четыре области. У каждой точки плоскости есть своё положение относительно обеих осей, поэтому ей можно сопоставить два числа.

Чтобы получить координаты точки, мысленно или с помощью линейки проведите через неё прямые, параллельные осям. Горизонтальная прямая пересечёт Oy и покажет высоту точки, то есть значение y. Вертикальная прямая пересечёт Ox и покажет, насколько точка смещена вправо или влево, то есть значение x. Если точка находится между делениями, её координату можно оценить по масштабу.

Координаты записывают в порядке (x; y), потому что сначала указывают смещение по горизонтали, а уже затем — по вертикали. Представьте, что от O вы идёте сначала вправо или влево, а потом вверх или вниз. Положительное направление по Ox — вправо, по Oy — вверх; движение в противоположную сторону даёт отрицательный знак. Поэтому знак — это не просто название четверти, а указание направления от начала координат.

Знаки помогают быстро определить область, где находится точка. Например, если x положителен, а y отрицателен, точка смещена вправо и вниз, поэтому лежит в IV четверти. Если хотя бы одна координата равна нулю, точка находится на оси, а не внутри четверти. На самой оси Ox расстояние по вертикали равно нулю, а на Oy — расстояние по горизонтали.

Можно выполнить обратное действие и построить точку по заданным координатам. Отметьте на Ox значение x, а на Oy — значение y, затем через эти отметки проведите прямые, параллельные соответствующим осям. Их пересечение задаёт точку: обе прямые одновременно обеспечивают нужное горизонтальное и вертикальное положение. При отрицательных координатах откладывайте значения в сторону отрицательных направлений.

Знаки координат точки в разных частях координатной плоскости

Сначала определите, в какой стороне от каждой оси расположена точка, а затем поставьте соответствующие знаки. На осях одна из координат равна нулю, поэтому такие точки не относят к четвертям. Таблица помогает проверить знаки, но направление на каждой оси всё равно нужно учитывать.

Разбор задач

Задача 1. Укажите абсциссу и ординату точки A(−3; 2). Здесь координаты уже записаны в принятом порядке, поэтому нужно не менять числа местами, а определить, какое из них за что отвечает.

1. Первое число в паре координат — абсцисса x.
2. В записи A(−3; 2) первым стоит число −3, значит, x = −3.
3. Второе число — ордината y, поэтому y = 2.

Ответ: абсцисса равна −3, ордината равна 2.

Задача 2. Отметьте точки B(2; 3), C(−2; 3), D(−2; −3), E(2; −3) и укажите четверть каждой. Для построения у каждой точки сначала учитываем x, затем y; при определении четверти достаточно сопоставить знаки координат.

1. Для B(2; 3) обе координаты положительны, поэтому точку строим вправо и вверх. Она лежит в I четверти.
2. Для C(−2; 3) абсцисса отрицательна, ордината положительна: откладываем влево и вверх. Точка находится во II четверти.
3. У D(−2; −3) обе координаты отрицательны, значит, откладываем влево и вниз. Это III четверть.
4. У E(2; −3) x положителен, а y отрицателен, поэтому точка располагается вправо и вниз, в IV четверти.

Ответ: B — I четверть, C — II, D — III, E — IV.

Задача 3. Точка M имеет абсциссу −4 и лежит на оси Ox. Запишите её координаты, затем найдите координаты точки N, симметричной M относительно начала координат. Сначала используем свойство оси, затем — правило симметрии.

1. На оси Ox ордината любой точки равна нулю. Поэтому при абсциссе −4 получаем M(−4; 0).
2. При симметрии относительно O точка переходит на такое же расстояние в противоположную сторону. Значит, знак абсциссы меняется с минуса на плюс, а нулевая ордината остаётся нулём.
3. Записываем координаты новой точки в том же порядке: N(4; 0).

Ответ: M(−4; 0), N(4; 0).

Типичные ошибки

Координаты иногда переставляют местами: например, запись (−3; 2) ошибочно читают как абсциссу 2 и ординату −3. Так происходит, если забыть порядок записи пары. Проверяйте себя: первое число относится к Ox, второе — к Oy.

Ещё одна ошибка — неверный знак координаты из-за невнимания к направлению оси. Одной фразы «точка внизу» недостаточно: это говорит о знаке y, но ничего не сообщает о знаке x. Проверка простая: отдельно определите, находится ли точка справа или слева от Oy, а затем — выше или ниже Ox.

Точки на осях иногда относят к ближайшей четверти. Так думают, потому что ось выглядит как граница области, но четверти не включают свои границы. Если точка лежит на оси, запишите её как точку оси и не называйте четверть.

При записи точки на оси могут указать ненулевыми обе координаты. Ошибка возникает, если забыть, что на оси одно из смещений отсутствует. На Ox всегда y = 0, на Oy всегда x = 0; сверяйте нулевую координату с названием оси.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны знания о числовой прямой: как отмечать числа, понимать их координаты и различать положительные и отрицательные значения. Именно эти навыки помогают выбирать правильное направление на Ox и Oy. Знание сравнения чисел также пригодится, когда нужно определить, какое значение расположено дальше от нуля.

Координатная плоскость используется при построении графиков зависимостей и функций: значения одной величины откладывают по горизонтали, другой — по вертикали. Координаты помогают решать геометрические задачи и описывать положение точек и фигур. Поэтому умение читать и строить точки становится основой для многих тем алгебры и геометрии.

Что запомнить

• Ось Ox — горизонтальная, ось Oy — вертикальная.
• Оси пересекаются под прямым углом в начале координат O.
• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• На оси Ox ордината равна нулю, на оси Oy абсцисса равна нулю.
• В четвертях знаки координат таковы: I (+; +), II (−; +), III (−; −), IV (+; −).
• Начало координат имеет координаты (0; 0).