§ 29. Прямоугольная система координат на плоскости

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат на плоскости — это две взаимно перпендикулярные координатные оси с общей начальной точкой и выбранным единичным отрезком. Единичный отрезок задаёт масштаб: по нему отсчитывают расстояния на каждой оси. Такая система нужна, чтобы обозначать положение любой точки плоскости числами. Саму плоскость с нанесёнными осями называют координатной плоскостью.

Координатные оси и начало координат — горизонтальная ось Ox, вертикальная ось Oy и их общая точка O(0; 0). Буква O обозначает пересечение осей, а нули показывают, что от него не отложено расстояние ни по одному направлению. Оси служат линиями отсчёта для двух координат. Их взаимная перпендикулярность помогает независимо задавать движение по горизонтали и вертикали.

Координаты точки — упорядоченная пара чисел (x; y), где x — абсцисса, а y — ордината точки. Абсцисса показывает положение по оси Ox, ордината — по оси Oy. Порядок записи является частью обозначения: первая координата относится к горизонтальному направлению, вторая — к вертикальному. Пара чисел позволяет однозначно найти точку на плоскости.

Координатные четверти — четыре области плоскости, образованные осями и различающиеся знаками координат. Их считают против часовой стрелки, начиная с области справа и выше начала координат. Например, в I четверти обе координаты положительны, а в III — обе отрицательны. Сами оси в четверти не входят, поэтому точки на осях к четвертям не относят.

Как это устроено

Чтобы построить систему, проводят горизонтальную и вертикальную числовые оси так, чтобы они пересекались под прямым углом. Точку пересечения выбирают началом отсчёта, а на обеих осях отмечают единичный отрезок. На каждой оси задают направления: положительные значения идут вправо и вверх, отрицательные — влево и вниз. Общая точка и масштаб нужны, чтобы числа на двух осях относились к одному и тому же положению на плоскости.

Положение точки задаётся двумя числами, потому что на плоскости есть два независимых направления перемещения. Первое число определяет, насколько точка смещена по горизонтали относительно O: вправо при положительном значении или влево при отрицательном. Второе число задаёт вертикальное смещение: вверх при положительном значении или вниз при отрицательном. Одного числа недостаточно: оно укажет положение только на одной линии, но не определит единственную точку на всей плоскости.

Чтобы построить точку с координатами (x; y), сначала находят на Ox значение x, считая от начала координат. Через найденное положение проводят вертикальную линию, параллельную Oy. Затем на Oy находят значение y и проводят горизонтальную линию, параллельную Ox; их пересечение и есть нужная точка. Такой порядок помогает не спутать координаты: сначала задаётся горизонтальное, затем вертикальное положение.

Чтобы прочитать координаты готовой точки, через неё мысленно проводят линии, параллельные координатным осям. Вертикальная линия показывает, над каким значением на Ox находится точка, а горизонтальная — какому значению на Oy она соответствует. Эти значения записывают именно в порядке (x; y). Параллельные линии удобны потому, что переносят положение точки к осям, не меняя её горизонтального или вертикального уровня.

Порядок координат важен: запись (2; 3) означает две единицы вправо и три вверх, а (3; 2) — три вправо и две вверх. Знаки координат определяют, в каких направлениях от начала координат расположена точка. Сочетания знаков распределены по четвертям: I — (+; +), II — (−; +), III — (−; −), IV — (+; −). Если хотя бы одна координата равна нулю, точка находится на оси, а не в четверти.

Элементы прямоугольной системы координат

Пользуйся таблицей как краткой памяткой: сначала выясни, какое направление описывает нужная координата, затем обратись к соответствующей оси. Чтобы определить четверть, сравни знаки абсциссы и ординаты с сочетаниями в таблице определений. Если координата нулевая, проверяй принадлежность оси, а не четверти.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A(−3; 2), B(4; 1), C(−2; −3), D(3; −4). Укажите, в какой координатной четверти находится каждая точка. Для решения не требуется строить все точки: достаточно сравнить знаки первой и второй координат. Сначала определим знаки, затем сопоставим их с четвертями.

1. У точки A абсцисса −3 отрицательная, а ордината 2 положительная. Такое сочетание (−; +) соответствует II четверти.

2. У точки B обе координаты положительные: 4 и 1. Сочетание (+; +) означает, что B находится в I четверти.

3. У точки C обе координаты отрицательные: −2 и −3. Это сочетание знаков для III четверти.

4. У точки D абсцисса положительная, а ордината отрицательная. Сочетание (+; −) соответствует IV четверти.

Ответ: A — II четверть, B — I, C — III, D — IV.

Задача 2. Постройте точки M(−4; 0), N(0; 3), P(2; −2), Q(−1; −3). Укажите, какие точки лежат на координатных осях, а какие — в четвертях. Начнём с проверки нулевых координат: они сразу показывают принадлежность оси. Для остальных точек определим направления по знакам и отложим координаты в заданном порядке.

1. У M вторая координата равна нулю, значит, точка лежит на Ox. От O откладываем четыре единицы влево.

2. У N первая координата равна нулю, значит, точка лежит на Oy. От O откладываем три единицы вверх.

3. У P координаты (+; −): две единицы вправо и две вниз. Поэтому P находится в IV четверти.

4. У Q координаты (−; −): одну единицу влево и три вниз. Поэтому Q находится в III четверти.

Ответ: M лежит на Ox, N — на Oy, P — в IV четверти, Q — в III четверти.

Задача 3. Даны точки A(−3; 2), B(4; 2), C(4; −2). Постройте их и найдите координаты четвёртой вершины D прямоугольника ABCD. Сначала отметим, что у A и B одинаковая ордината, поэтому AB — горизонтальная сторона. У B и C одинаковая абсцисса, значит, BC — вертикальная сторона; четвёртая вершина должна продолжить эти стороны.

1. Координаты A и B отличаются только абсциссами, поэтому отрезок AB проходит на уровне y = 2. У точки D ордината должна быть такой же, как у C, то есть −2.

2. Координаты B и C отличаются только ординатами, поэтому отрезок BC проходит при x = 4. У точки D абсцисса должна совпадать с абсциссой A, то есть быть −3.

3. Соединяем найденные значения в правильном порядке: сначала абсцисса, потом ордината. Получаем D(−3; −2); у всех сторон прямоугольника совпадают нужные горизонтальные или вертикальные координаты.

Ответ: D(−3; −2).

Типичные ошибки

Перестановка абсциссы и ординаты меняет точку: числа в паре не взаимозаменяемы. Так ошибаются, если забывают, что сначала указывается положение по горизонтали. Для проверки представь пару как инструкцию: первое число ведёт по Ox, второе — по Oy, и затем сравни построенную точку с условием.

Если откладывать координаты от разных точек или не от начала координат, построение даст неверное положение. Обычно это происходит, когда оси используют только как ориентир и забывают, что обе координаты отсчитываются от O. Проверь, что каждый шаг начинается от начала координат и использует единичный отрезок одной и той же длины.

Ошибочный знак может отправить точку в другую четверть; особенно часто путают III и IV, где ордината отрицательна, но знаки абсциссы различаются. Не определяй четверть только по одному числу: проверь оба знака отдельно. В III оба числа отрицательны, а в IV положительна абсцисса и отрицательна ордината.

Точку с нулевой координатой иногда ошибочно относят к четверти, хотя она лежит на оси. Это происходит, если при определении области не проверить, не равна ли одна из координат нулю. Подставь координаты в правило: y = 0 означает ось Ox, x = 0 — ось Oy; только при ненулевых координатах точка находится в четверти.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужны знания о координатной прямой, положительных и отрицательных числах, начале отсчёта и единичном отрезке. На этой основе можно строить графики функций и изображать точки, координаты которых получены из формулы. Координатная плоскость также помогает решать системы уравнений и геометрические задачи, где положение точек важно для нахождения фигур и расстояний. Её используют и для описания движения: изменение координат показывает, куда и насколько переместилась точка.

Что запомнить

• Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно перпендикулярных координатных осей.
• Точка пересечения осей называется началом координат и имеет координаты O(0; 0).
• Первая координата точки — абсцисса, вторая — ордината.
• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Чтобы построить точку, сначала откладывают абсциссу, затем ординату.
• Знаки координат определяют координатную четверть точки.
• Точки с нулевой координатой лежат на одной из координатных осей.