§ 28. Совместные действия над алгебраическими дробями

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся числа и/или буквенные выражения. Например, 3/(x + 1) — алгебраическая дробь. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Поэтому для такой дроби x ≠ −1.

Допустимые значения переменной — значения, при которых каждый знаменатель выражения отличен от нуля. Их находят по исходной записи выражения, до сокращения и других преобразований. Это нужно, чтобы случайно не включить в ответ значения, при которых исходное выражение не имеет смысла. Например, в дроби (x − 1)/(x − 1) значение x = 1 недопустимо, хотя после сокращения получается 1.

Общий знаменатель — выражение, которое делится без остатка на знаменатели нескольких дробей. Например, для дробей 1/x и 1/(x + 2) общим знаменателем может быть x(x + 2). Он нужен, чтобы сравнить доли одинакового размера: тогда при сложении или вычитании можно объединить числители, сохраняя общий знаменатель. Подобным образом поступают и с обыкновенными дробями.

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на один и тот же общий множитель, отличный от нуля. Например, дробь 3x/(6x) можно сократить на 3x, если x ≠ 0. Множитель умножается на другую часть выражения, а слагаемые соединены знаками плюс или минус. Поэтому части суммы нельзя сокращать по отдельности.

Как это устроено

Если в выражении несколько дробей, сначала определяют допустимые значения переменной по знаменателям в исходной записи. Для этого каждый знаменатель приравнивают к нулю и находят значения, которые нужно исключить. После упрощения ограничения не исчезают: преобразования могут изменить вид дроби, но не делают исходное выражение определённым в запрещённых точках. При делении дополнительно проверяют, что сама дробь-делитель не равна нулю.

Для сложения и вычитания сначала нужен общий знаменатель, потому что числители можно объединять только у долей одинакового размера. Каждую дробь домножают на подходящее выражение, одновременно умножая её числитель и знаменатель на одно и то же. Так значение дроби сохраняется, а знаменатели становятся одинаковыми. После этого складывают или вычитают числители, заключая их в скобки, если это помогает не ошибиться со знаками, и записывают общий знаменатель.

При умножении дробей перемножают числители между собой и знаменатели между собой. Но до умножения полезно разложить многочлены на множители: так легче заметить общие множители и сократить вычисления. Например, общий множитель в числителе одной дроби и знаменателе другой можно сократить, если он не равен нулю. Сокращение не меняет значение выражения, потому что числитель и знаменатель делятся на одно и то же число или выражение.

Деление на дробь заменяют умножением на обратную ей дробь: числитель и знаменатель делителя меняют местами. Это правило связано с тем, что умножение на обратное число отменяет деление на исходное. Перед преобразованием необходимо проверить два условия: знаменатель делителя не равен нулю, а сам делитель не равен нулю. Если делитель — дробь, она равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель определён.

Если в выражении несколько действий, выполняют их в установленном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют по порядку слева направо. Скобки особенно важны при вычитании дробей: перед второй дробью может стоять минус, и при раскрытии скобок знаки её числителя меняются. Такой порядок помогает не смешивать разные правила и контролировать каждый шаг.

Правила действий над алгебраическими дробями

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала определи действие, затем выполни его по правилу. В последнем столбце перечислены условия, которые легко упустить во время вычислений. Если в выражении есть несколько действий, сначала учти порядок, а затем проверяй правила для каждого действия.

Разбор задач

Упростить выражение 2/(x + 1) + 3/(x + 1), указав допустимые значения x. Знаменатели уже одинаковые, поэтому достаточно объединить числители. При этом сначала исключаем значение, при котором исходный знаменатель обращается в ноль.

1. Из условия x + 1 ≠ 0, значит, x ≠ −1. Это единственное ограничение переменной.
2. Знаменатели совпадают, поэтому складываем только числители: 2 + 3 = 5. Знаменатель x + 1 оставляем без изменения.
3. Получаем 5/(x + 1). Дробь уже упрощена, поскольку общий множитель в числителе и знаменателе не выделяется.

Ответ: 5/(x + 1), x ≠ −1. Ограничение записано по исходному знаменателю, а не по результату действий. При проверке полезно подставить любое допустимое значение, например x = 0: исходная сумма и полученная дробь дают 5.

Упростить выражение 1/x − 1/(x + 2), указав допустимые значения x. Здесь знаменатели разные, поэтому нельзя сразу объединять числители. Сначала выясним ограничения, затем приведём дроби к общему знаменателю.

1. Из знаменателей получаем x ≠ 0 и x + 2 ≠ 0, то есть x ≠ 0 и x ≠ −2.
2. Общий знаменатель — x(x + 2). Первую дробь домножаем на x + 2, вторую — на x.
3. Вычитаем числители, сохраняя общий знаменатель: (x + 2 − x)/(x(x + 2)) = 2/(x(x + 2)).
4. Числитель равен 2, поэтому сократить дробь нельзя. Оба ограничения из исходной записи остаются в ответе.

Ответ: 2/(x(x + 2)), x ≠ 0, x ≠ −2. При раскрытии числителя важно вычесть всю вторую дробь: поэтому после общего знаменателя записано x + 2 − x. Если забыть минус перед вторым числителем, получится неверное выражение.

Упростить (x² − 1)/(x² + 2x + 1) : (x − 1)/(x + 1), указав допустимые значения x. Здесь сначала нужно разложить многочлены на множители и установить ограничения. Затем заменим деление умножением на дробь, обратную делителю.

1. Знаменатели исходных дробей требуют x² + 2x + 1 ≠ 0 и x + 1 ≠ 0. Так как x² + 2x + 1 = (x + 1)², получаем x ≠ −1.
2. Делитель не должен быть равен нулю. Дробь (x − 1)/(x + 1) равна нулю при x = 1, поэтому исключаем и это значение.
3. Разложим выражения на множители: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), x² + 2x + 1 = (x + 1)².
4. Заменим деление умножением на обратную дробь: ((x − 1)(x + 1))/(x + 1)² · (x + 1)/(x − 1). Сократим общие множители x + 1 и x − 1.

Ответ: 1, x ≠ −1, x ≠ 1. Ограничение x ≠ 1 важно, хотя после сокращения значение выражения стало равно 1: в исходной записи при x = 1 делитель обращается в ноль. Именно поэтому область допустимых значений находят до преобразований.

Типичные ошибки

Складывают одновременно числители и знаменатели. Так поступают, перенося правило сложения целых чисел на дроби, но дроби с разными знаменателями обозначают части разного размера. Сначала приведи их к общему знаменателю и только потом объединяй числители. Проверить себя можно на примере ½ + ½: результат равен 1, а не 2/2 после сложения знаменателей по ошибочному правилу.

Сокращают отдельные слагаемые в числителе и знаменателе. Обычно это происходит, когда похожие буквы встречаются в разных частях выражения, но наличие одинакового символа ещё не означает общего множителя. Разложи числитель и знаменатель на множители и сокращай только целые множители. Например, в (x + 2)/x нельзя убрать x: в числителе он входит в сумму, а не является множителем всей суммы.

При делении оставляют вторую дробь как есть или переворачивают первую. Путаница возникает из-за того, что обратную дробь нужно брать именно для делителя. Перепиши знак деления как умножение и поменяй местами числитель и знаменатель только во второй дроби. Проверка: для чисел 2 : 3 должно получиться 2 · 1/3, то есть 2/3.

Забывают ограничения исходных знаменателей или не проверяют, равен ли делитель нулю. После сокращения запрещённое значение может перестать быть заметным, поэтому его ошибочно возвращают в ответ. Выпиши ограничения до преобразований и отдельно проверь, когда делитель равен нулю. В конце сравни список исключений с ответом: ни одно из этих значений не должно в него попасть.

Связь с другими темами

Для действий с алгебраическими дробями нужны знакомые правила для обыкновенных дробей: общий знаменатель, умножение, деление и сокращение. Также пригодится разложение многочленов на множители, в том числе формулы сокращённого умножения. Оно помогает находить общий знаменатель и замечать множители, которые можно сократить. Дальше эти умения применяют при преобразовании рациональных выражений и решении уравнений с дробями.

Что запомнить

• Сначала выпиши значения переменной, при которых исходные знаменатели равны нулю, и исключи их.
• Для сложения и вычитания дроби приводят к общему знаменателю.
• При умножении перемножают числители и знаменатели.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Сокращают только общие множители, а не слагаемые.
• В выражении с несколькими действиями соблюдают порядок действий и аккуратно раскрывают скобки.