§ 27. Умножение и деление алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — отношение двух многочленов, причём знаменатель не равен нулю. Например, (x + 1)/(x − 2) — алгебраическая дробь, если x ≠ 2. Такое представление позволяет выполнять с многочленами действия по правилам дробей и упрощать выражения.

Допустимые значения переменных — значения, при которых знаменатели всех рассматриваемых дробей не обращаются в ноль. Например, в дроби 1/(x + 4) допустимы все значения x, кроме −4. Это понятие нужно, чтобы не выполнять деление на ноль и не приписывать выражению значения, при которых оно не определено.

Взаимно обратные алгебраические дроби — дроби, произведение которых равно единице. Например, дроби (x + 1)/3 и 3/(x + 1) взаимно обратны, если x ≠ −1. Обратная дробь понадобится, когда деление заменяют умножением.

Сокращение алгебраической дроби — деление числителя и знаменателя на их общий ненулевой множитель. Так, дробь 6x/9x можно сократить на 3x при x ≠ 0 и получить 2/3. Сокращение помогает записать выражение проще, но допустимые значения исходной дроби при этом не меняются.

Как это устроено

Правило умножения алгебраических дробей такое же, как для обыкновенных: перемножают числители и отдельно знаменатели. Это следует из смысла дроби: умножение дроби на число означает умножение её числителя, а общий знаменатель сохраняет отношение частей. Поэтому (A/B) · (C/D) = AC/BD, если B и D не равны нулю.

Чтобы умножить дроби и получить более простой ответ, сначала раскладывают многочлены на множители. Затем находят одинаковые множители в числителе и знаменателе и сокращают их, после чего записывают оставшееся произведение. Такой порядок удобен потому, что сокращение до перемножения часто позволяет не раскрывать скобки и уменьшает число вычислений.

Деление заменяют умножением на дробь, обратную делителю: (A/B) : (C/D) = (A/B) · (D/C). Причина в том, что умножение числа на обратное ему число возвращает исходное число, а произведение дроби и обратной дроби равно единице. При этом делитель должен быть определён и не равен нулю, поэтому C ≠ 0 и D ≠ 0.

Ограничения на переменные устанавливают до преобразований по знаменателям исходных дробей. При делении дополнительно проверяют, что делитель не равен нулю: для дроби C/D это требует C ≠ 0, а также D ≠ 0. Нулевой знаменатель делает дробь несуществующей, поэтому сокращение или преобразование не может разрешить такое значение переменной.

После умножения или деления результат приводят к сокращённому виду, чтобы ответ был проще и понятнее. Но сокращение не отменяет ограничений исходного выражения: например, если после сокращения исчез множитель x − 2, значение x = 2 всё равно может оставаться недопустимым. Поэтому в конце проверяют, что ответ упрощён и область допустимых значений учтена.

Умножение и деление алгебраических дробей

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала установи условия, затем преобразуй дроби и сократи общие множители. Для деления не забудь заменить действие умножением на обратную дробь. В конце проверь результат и сохрани ограничения, полученные из исходного выражения.

Разбор задач

Задача 1. Выполним умножение (3x/4y) · (8y²/9x²). Сначала отметим, что исходные знаменатели 4y и 9x² не должны быть нулевыми, поэтому x ≠ 0 и y ≠ 0. Чтобы не перемножать большие выражения, можно сразу выделить общие множители.

1. Запишем произведение одной дробью: (3x · 8y²)/(4y · 9x²).
2. Сократим числовые множители: 24/36 = 2/3. Из переменных сократим x с x² и y² с y, получим соответственно 1/x и y.
3. Запишем результат: 2y/(3x). Ограничения исходных дробей остаются: x ≠ 0, y ≠ 0.

Задача 2. Выполним деление (x² − 9)/(x² − 4x + 4) : (x + 3)/(x − 2). В знаменателях получаем (x − 2)² и x − 2, поэтому x ≠ 2. Кроме того, делитель не должен быть равен нулю: при x ≠ 2 это требует x + 3 ≠ 0, то есть x ≠ −3.

1. Разложим многочлены: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), x² − 4x + 4 = (x − 2)².
2. Заменим деление умножением на обратную дробь: ((x − 3)(x + 3)/(x − 2)²) · ((x − 2)/(x + 3)).
3. Сократим общие множители x + 3 и x − 2. Получим (x − 3)/(x − 2), при x ≠ 2 и x ≠ −3.

Задача 3. Упростим ((a² − b²)/(a² + 2ab + b²)) : ((a − b)/(a + b)). В знаменателе первой дроби стоит (a + b)², а во второй — a + b, значит, a ≠ −b. Также делитель не должен быть нулём, поэтому a − b ≠ 0, то есть a ≠ b. Эти условия нужно найти до сокращения.

1. Применим формулы разности квадратов и квадрата суммы: a² − b² = (a − b)(a + b), a² + 2ab + b² = (a + b)².
2. Заменим деление умножением на обратную дробь: ((a − b)(a + b)/(a + b)²) · ((a + b)/(a − b)).
3. Сократим общие множители и получим 1. Ответ: 1 при a ≠ −b и a ≠ b; сокращение не возвращает исключённые значения.

Типичные ошибки

Перемножать числитель одной дроби со знаменателем другой — значит путать умножение с делением. Такую ошибку допускают, когда запоминают только перекрёстное умножение, не проверяя действие. При умножении перемножают числители между собой и знаменатели между собой. Проверь себя: запиши перед вычислениями формулу (A/B) · (C/D) = AC/BD.

При делении иногда оставляют вторую дробь без изменений и просто перемножают дроби. Так происходит, если забыть, что деление заменяется умножением на дробь, обратную делителю. Перед вычислениями отдельно перепиши действие и поменяй местами числитель и знаменатель второй дроби. В конце проверь, что делитель не равен нулю.

Нельзя сокращать одинаковые слагаемые, например вычёркивать x в числителе x + 2 и знаменателе x + 3. Ошибка возникает из-за того, что слагаемые принимают за множители. Сокращать можно только одинаковые множители всего произведения; поэтому сначала разложи многочлены на множители. Проверка проста: если между частями стоит плюс или минус, сокращать отдельные части нельзя.

Если не записать ограничения, можно принять за ответ выражение при значении, где исходная дробь не определена. Иногда кажется, что исчезнувший после сокращения знаменатель больше не важен, но исходное выражение всё равно запрещает его нулевое значение. Найди все исходные знаменатели и при делении проверь, не обращается ли делитель в ноль. Сверь с ответом: ни одно исключённое значение не должно быть разрешено.

Связь с другими темами

Для умножения и деления алгебраических дробей нужны навыки работы с обыкновенными дробями: перемножение числителей и знаменателей и замена деления умножением на обратную дробь. Также важно уметь раскладывать многочлены на множители и применять формулы сокращённого умножения. Эти умения помогают увидеть, что можно сократить.

Преобразование дробей пригодится при упрощении рациональных выражений и решении рациональных уравнений. В уравнениях особенно важно сохранять ограничения на переменные, иначе можно получить посторонние корни. Те же ограничения понадобятся при дальнейшем изучении дробно-рациональных функций, где знаменатель также не может быть равен нулю.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю.
• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Деление на дробь заменяют умножением на дробь, обратную делителю.
• Перед сокращением многочлены нужно разложить на множители.
• Сокращать можно только общие множители, а не слагаемые.
• Ограничения на переменные устанавливают по исходным знаменателям и делителю.
• Результат приводят к сокращённому виду.