"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Алгебраические дроби — это дроби, в которых числитель и знаменатель являются выражениями с переменными. Чтобы сложить или вычесть такие дроби, сначала сравнивают знаменатели: при одинаковых сразу выполняют действие над числителями, а при разных приводят дроби к общему знаменателю. Затем раскрывают скобки, упрощают результат и учитывают значения переменных, при которых исходные знаменатели не равны нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой являются выражениями, например 3/(x + 1) или (a − b)/(a² + b²). Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому для первой дроби x ≠ −1. Это условие показывает, какие значения переменной допустимы.
Общий знаменатель — знаменатель, к которому приводят несколько дробей перед сложением или вычитанием. После приведения у дробей появляется одинаковая нижняя часть, и действие можно выполнить над числителями. Общим знаменателем может быть произведение исходных знаменателей или более простое выражение, содержащее нужные множители.
Дополнительный множитель — выражение, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель. Например, к знаменателю x нужно добавить множитель x + 2, если общий знаменатель равен x(x + 2). Умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение не меняет значение дроби.
Если знаменатели одинаковы, дроби уже измеряют части одного и того же размера. Поэтому складывать или вычитать сами знаменатели не нужно: меняется только количество таких частей. Получаем правило a/c ± b/c = (a ± b)/c, причём c ≠ 0.
Если знаменатели различаются, числители относятся к разным долям целого, и сразу объединить их нельзя. Сначала выбирают выражение, которое делится на каждый знаменатель без остатка. Часто берут произведение знаменателей, но при общих множителях можно выбрать более короткий общий знаменатель.
Чтобы привести дробь к общему знаменателю, сравнивают её знаменатель с выбранным общим знаменателем. Их частное и будет дополнительным множителем. На него умножают и верхнюю, и нижнюю части дроби, потому что умножение на одну и ту же ненулевую величину фактически означает умножение на единицу.
После приведения дробей действие выполняют только над числителями, а общий знаменатель записывают один раз. При вычитании весь числитель второй дроби нужно заключить в скобки: A/B − (C + D)/B = (A − (C + D))/B. Иначе знак минус ошибочно изменит только первое слагаемое.
В конце результат проверяют и упрощают. Если числитель и знаменатель разложены на множители, общие множители можно сократить, но только при ненулевых допустимых значениях. Ограничения на переменную берут из исходных знаменателей и сохраняют даже после сокращения.
Таблица помогает быстро определить порядок действий. Сначала выясните, одинаковы ли знаменатели, затем выберите нужный способ приведения и только после этого упростите результат.
| Ситуация | Что сделать | Результат |
|---|---|---|
| Одинаковые знаменатели | Сложить или вычесть числители | Общий знаменатель оставить без изменения |
| Разные знаменатели | Найти общий знаменатель и дополнительные множители | Получить дроби с одинаковыми знаменателями |
| Вычитание дробей | Заключить второй числитель в скобки | Правильно изменить знаки всех его слагаемых |
| После выполнения действия | Разложить на множители и сократить общие множители | Записать упрощённую дробь с ограничениями |
Выполним действие 3/(x + 1) + 2/(x + 1). Знаменатели уже одинаковы, поэтому искать общий знаменатель заново не требуется. При этом исходный знаменатель не должен быть нулём: x ≠ −1.
Ответ: 5/(x + 1), x ≠ −1. Дополнительного упрощения нет.
Выполним действие 1/x + 1/(x + 2). Знаменатели x и x + 2 различаются, поэтому сначала приводим дроби к общему знаменателю. Произведение x(x + 2) подходит, а ограничения сразу дают x ≠ 0 и x ≠ −2.
Ответ: (2x + 2)/(x(x + 2)), x ≠ 0, x ≠ −2. При желании числитель можно представить как 2(x + 1), но общих множителей со знаменателем нет.
Упростим 2/(x − 1) − 1/(x + 1) − 2/(x² − 1). Сначала замечаем разность квадратов: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), поэтому общий знаменатель равен (x − 1)(x + 1). Исходные ограничения: x ≠ 1 и x ≠ −1.
Ответ: 1/(x − 1), x ≠ 1, x ≠ −1. Значение x = −1 нельзя вернуть после сокращения, потому что исходное выражение при нём не имело смысла.
Первая ошибка — складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Так поступают, перенося правило сложения целых чисел на дроби, но знаменатель обозначает размер доли и при общем знаменателе не меняется. Проверьте себя: после приведения дробей к одному знаменателю внизу должна остаться одна общая запись.
Вторая ошибка — умножить на дополнительный множитель только числитель. Тогда дробь изменит своё значение, ведь верхняя часть увеличится, а нижняя останется прежней. Проверка проста: дополнительный множитель должен стоять и в числителе, и в знаменателе.
Третья ошибка — потерять скобки при вычитании второй дроби. Из-за этого знак минус меняет не все слагаемые её числителя, а только первое. Запишите сначала A − (B + C), а затем раскройте скобки как −B − C.
Четвёртая ошибка — сокращать отдельное слагаемое числителя со знаменателем. Сокращать можно только множители, соединённые умножением, поэтому сначала разложите многочлены на множители. Если в числителе остаётся сумма, например x + 1, она не сокращается с отдельным x в знаменателе.
Для этой темы нужны правила действий с обыкновенными дробями: именно они объясняют, почему при одинаковых знаменателях изменяются только числители. Также пригодятся разложение многочленов на множители и сокращение дробей, например формула x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
Приведение к общему знаменателю встречается не только при сложении и вычитании. Оно помогает выполнять преобразования при умножении и делении алгебраических дробей, а ещё используется при решении рациональных уравнений.
Почему при сложении дробей знаменатели не складывают?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, поэтому при сложении он должен оставаться общим для слагаемых. Складывают только числители, как в обыкновенных дробях с одинаковыми знаменателями.
Как выбрать общий знаменатель, если знаменатели разные?
Можно взять произведение знаменателей, если это выражение удобно и общие множители отсутствуют. Если знаменатели имеют общие множители, лучше собрать их в одно выражение без повторений, чтобы последующее сокращение было проще.
Что такое дополнительный множитель и куда его нужно поставить?
Дополнительный множитель — выражение, которого не хватает знаменателю дроби до общего знаменателя. На него умножают одновременно числитель и знаменатель этой дроби.
Как правильно раскрыть скобки при вычитании алгебраических дробей?
Числитель второй дроби нужно заключить в скобки перед знаком минус. При раскрытии скобок минус меняет знак каждого слагаемого внутри: −(a − b) = −a + b.
Почему нельзя сокращать отдельные слагаемые числителя со знаменателем?
Сокращение возможно только у общих множителей произведения. Слагаемые соединены знаками плюс или минус, поэтому сначала числитель нужно разложить на множители и лишь затем искать общий множитель со знаменателем.
§ 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей
