"Алгебра", Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Приведение дробей к общему знаменателю — способ заменить дроби равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Он нужен, чтобы сравнивать дроби, а также складывать и вычитать их. Для этого выбирают число, которое делится на каждый исходный знаменатель, и находят дополнительный множитель для каждой дроби. Обычно выбирают наименьший общий знаменатель: тогда числа в вычислениях получаются меньше, но можно взять и другое общее кратное.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приведение дробей к общему знаменателю — преобразование дробей в равные им дроби с одинаковыми знаменателями. Например, дроби 1/2 и 2/4 равны, но для вычислений удобнее записать их с одинаковым знаменателем. Такой приём помогает сравнивать дроби и выполнять с ними сложение или вычитание.
Общий знаменатель — число, которое является общим кратным знаменателей всех данных дробей. Иными словами, каждый исходный знаменатель должен делить выбранное число без остатка. Это условие позволяет получить для каждой дроби целый дополнительный множитель.
Наименьший общий знаменатель — наименьшее общее положительное кратное знаменателей данных дробей. Обычно его находят как НОК — наименьшее общее кратное. С ним преобразование остаётся верным, а числа чаще всего получаются меньше, чем при выборе другого общего кратного.
Дополнительный множитель — число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы получить выбранный общий знаменатель. Его находят делением общего знаменателя на исходный знаменатель. Например, если знаменатель 4, а общий знаменатель 12, дополнительный множитель равен 3.
Чтобы дробь не изменила своего значения, её числитель и знаменатель умножают на одно и то же ненулевое число. Это равносильно умножению дроби на 1: например, 3/3 = 1, поэтому 2/5 = (2 · 3)/(5 · 3) = 6/15. Если умножить только знаменатель, значение дроби уменьшится, и равенство нарушится. Поэтому менять нужно обе части дроби одновременно.
Общий знаменатель выбирают среди общих кратных исходных знаменателей. Например, для 4 и 6 подходят 12, 24, 36 и другие числа, потому что каждое из них делится и на 4, и на 6. Наименьшее из таких положительных чисел обычно удобнее: меньше вычислений и проще проверять результат. Однако выбор большего общего кратного тоже допустим.
Для каждой дроби нужно узнать, во сколько раз её знаменатель меньше выбранного общего знаменателя. Для этого общий знаменатель делят на исходный: если выбран 12, то для знаменателя 4 получаем 12 ÷ 4 = 3. Это число и есть дополнительный множитель. Деление должно выполняться без остатка, иначе выбранное число не является общим знаменателем.
Дополнительным множителем умножают и знаменатель, и числитель, потому что только так получается равная исходной дробь. Знаменатель после умножения становится выбранным общим знаменателем, а числитель изменяется в той же пропорции. Например, при преобразовании 3/4 в дробь со знаменателем 12 множитель равен 3: 3/4 = 9/12. Проверить равенство можно сокращением полученной дроби: 9/12 сокращается до 3/4.
Чтобы привести несколько дробей к наименьшему общему знаменателю, сначала найдите НОК всех знаменателей. Затем для каждой дроби разделите НОК на её знаменатель и умножьте на полученный множитель числитель и знаменатель. В конце проверьте, что знаменатели действительно одинаковы, а каждый дополнительный множитель целый. Полезно также убедиться, что преобразованные дроби равны исходным, например, сократив их.
| Ситуация | Общий знаменатель | Дополнительные множители | Что важно учесть |
|---|---|---|---|
| Один знаменатель делится на другой | Больший из исходных знаменателей | Для дроби с большим знаменателем — 1; для другой — частное от деления | Не следует без необходимости выбирать произведение знаменателей |
| Знаменатели взаимно простые | Произведение знаменателей | Каждый дополнительный множитель равен другому знаменателю | Произведение является наименьшим общим знаменателем |
| Знаменатели имеют общие простые множители | Наименьшее общее кратное знаменателей | Для каждого знаменателя — частное от деления НОЗ на него | Учитываются максимальные степени всех простых множителей |
| Общие знаменатели выбраны не минимально | Любое общее кратное знаменателей | Частные от деления выбранного числа на знаменатели | Результат верен, но вычисления могут быть громоздкими |
Сначала проверь, делится ли один знаменатель на другой: если да, часто достаточно взять больший. Если знаменатели взаимно простые, их произведение будет наименьшим общим знаменателем. В остальных случаях удобнее найти НОК; выбор большего общего кратного тоже верен, но может усложнить вычисления.
Нужно получить одинаковые знаменатели и не изменить значения дробей. Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 равно 12: это наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Найдём для каждой дроби множитель, превращающий её знаменатель в 12.
У обеих дробей знаменатель 12, а исходные значения сохранены. Ответ: 9/12 и 10/12.
Здесь три знаменателя, поэтому удобно разложить их на простые множители. Получаем 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3. В НОК нужно взять наибольшие степени каждого простого множителя: 2³ и 3².
Проверка: 72 делится на 12, 18 и 24, а знаменатели всех полученных дробей совпадают. Ответ: 42/72, 20/72 и 33/72.
При одинаковых положительных знаменателях достаточно сравнить числители: большему числителю соответствует большая дробь. Найдём наименьшее общее кратное 20 и 30. Оно равно 60, поэтому обе дроби можно записать с этим знаменателем.
Поскольку преобразованные дроби равны исходным, исходное сравнение такое же. Ответ: 13/20 > 17/30.
Иногда умножают только знаменатель, забывая про числитель. Так дробь перестаёт быть равной исходной, потому что изменяется только её знаменатель. Ошибку допускают, сосредоточившись на получении общего числа снизу. Для проверки умножай верхнюю и нижнюю части на один и тот же дополнительный множитель.
Можно выбрать число, которое не делится без остатка на все исходные знаменатели. Тогда при делении общего знаменателя на исходный получаются нецелые множители, а нужное преобразование не выполняется. Такая ошибка появляется, если выбирать число наугад и не проверять делимость. Проверь каждый знаменатель делением до того, как менять дроби.
Общий знаменатель иногда принимают за наименьший общий знаменатель и считают, что брать можно только НОК. На самом деле допустимо любое общее кратное, просто с большим числом считать бывает неудобно. Путаница возникает из-за того, что в заданиях часто просят именно наименьший знаменатель. Уточни условие: если требуется просто общий знаменатель, проверь делимость выбранного числа на все знаменатели.
При поиске НОК можно забыть учесть наибольшую степень одного из простых множителей. Например, в разложениях 12 = 2² · 3 и 24 = 2³ · 3 для НОК нужно взять 2³, а не 2². Из-за пропуска степени найденное число может не делиться на один из знаменателей. Разложи числа на множители и сверяй, что в НОК включена максимальная степень каждого из них.
Для приведения дробей нужно знать основное свойство дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет значение. Также понадобятся делимость чисел, разложение на простые множители и нахождение НОК. Эти знания помогают выбрать общий знаменатель и вычислить дополнительные множители.
Общий знаменатель нужен при сложении и вычитании обыкновенных дробей: сначала дроби записывают с одинаковыми знаменателями, затем выполняют действие с числителями. Тот же приём встречается дальше при работе с алгебраическими дробями и преобразовании рациональных выражений. Он также помогает приводить уравнения к удобному виду и решать их.
Можно ли выбрать общий знаменатель, который больше наименьшего общего знаменателя?
Да. Подойдёт любое число, которое делится на все исходные знаменатели. Но с наименьшим общим знаменателем обычно проще считать.
Почему при приведении дроби нужно умножать числитель и знаменатель?
Так сохраняется значение дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число равносильно умножению на 1. Если изменить только знаменатель, получится другая дробь.
Как быстро найти наименьший общий знаменатель?
Разложи знаменатели на простые множители и возьми каждый простой множитель в наибольшей степени, которая встречается в разложениях. Перемножь выбранные множители — получишь НОК, то есть наименьший общий знаменатель.
Что делать, если один из знаменателей уже является общим кратным остальных?
Можно взять этот знаменатель: деление на него и на остальные знаменатели даст целые числа. Для дроби с таким знаменателем дополнительный множитель будет равен 1.
Можно ли сокращать дробь после приведения к общему знаменателю?
Да, если числитель и знаменатель полученной дроби имеют общий делитель. Сокращение не меняет значение дроби, но после него знаменатели могут перестать совпадать.
§ 25. Приведение дробей к общему знаменателю
