§ 25. Приведение дробей к общему знаменателю

Определения и обозначения

Общий знаменатель дробей — знаменатель, к которому можно привести каждую из данных дробей, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число. Иначе говоря, он делится на каждый исходный знаменатель. Это условие помогает выбрать подходящее число для преобразования дробей.

Наименьший общий знаменатель — наименьший из положительных общих знаменателей данных дробей. Он совпадает с наименьшим общим кратным их знаменателей. Его удобно выбирать, чтобы не получать без необходимости слишком большие числа.

Дополнительный множитель — число, на которое умножают числитель и знаменатель дроби при приведении к общему знаменателю. Его находят, разделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби. Этот множитель показывает, во сколько раз нужно увеличить знаменатель.

Приведение дробей к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Числители при этом тоже могут измениться. Такая запись позволяет выполнять действия с дробями, у которых сначала были разные знаменатели.

Как это устроено

Дробь показывает, на сколько равных частей разделили целое и сколько таких частей взяли. Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число, количество частей в целом и число взятых частей увеличатся одинаково. Поэтому доля целого останется прежней: a/b = (a · k)/(b · k), если k ≠ 0. Например, половина и две четверти описывают одну и ту же долю.

Знаменатель новой дроби должен быть кратен исходному знаменателю, то есть делиться на него без остатка. Тогда его можно получить умножением исходного знаменателя на целое число. Если общий знаменатель делится на каждый знаменатель данных дробей, для каждой найдётся свой дополнительный множитель. Если хотя бы на один не делится, получить его умножением на целое число не удастся.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель, разложи знаменатели на простые множители — простые числа, из произведения которых складывается число. Затем возьми каждый встречающийся множитель в наибольшей степени из разложений. Например, 8 = 2³, а 12 = 2² · 3, значит, НОК равен 2³ · 3 = 24. Такой способ учитывает все нужные множители и не включает лишние.

Когда общий знаменатель выбран, для каждой дроби раздели его на её знаменатель. Например, если общий знаменатель равен 24, а исходный знаменатель — 8, дополнительный множитель равен 24 : 8 = 3. Умножь на 3 одновременно числитель и знаменатель. Так знаменатель станет 24, а равенство дроби сохранится.

В конце сравни новые знаменатели: они должны быть одинаковыми и равными выбранному общему знаменателю. Затем проверь преобразование умножением числителя и знаменателя на один и тот же множитель. Можно также убедиться, что полученная дробь равна исходной, например сократить её, если это возможно. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислении дополнительного множителя или числителя.

Этапы приведения дробей к общему знаменателю

Двигайся по строкам сверху вниз: сначала выбери общий знаменатель, затем найди множители и выполни умножение. Наименьший общий знаменатель помогает сократить вычисления, но вместо него можно взять и другой общий знаменатель. Последняя строка нужна, чтобы убедиться, что дроби не изменили значения.

Разбор задач

Привести дроби 2/5 и 3/10 к общему знаменателю

Знаменатель 10 делится и на 10, и на 5, поэтому его можно использовать как общий. Для первой дроби найдём множитель, который превратит 5 в 10. Для второй дроби знаменатель уже равен 10, поэтому она может остаться без изменений.

1. Выбираем общий знаменатель 10.
2. Для дроби 2/5 дополнительный множитель равен 10 : 5 = 2. Умножаем числитель и знаменатель: 2/5 = (2 · 2)/(5 · 2) = 4/10.
3. Для дроби 3/10 множитель равен 10 : 10 = 1. Получаем (3 · 1)/(10 · 1) = 3/10.

Ответ: 4/10 и 3/10. Знаменатели совпадают, а дроби равны исходным, потому что в каждой числитель и знаменатель умножили на одно и то же число.

Привести дроби 3/8 и 5/12 к наименьшему общему знаменателю

Знаменатели 8 и 12 не делятся друг на друга, поэтому найдём их наименьшее общее кратное. Разложение на простые множители помогает не пропустить нужный множитель и не взять лишних. После этого для каждой дроби отдельно определим, во сколько раз нужно увеличить знаменатель.

1. Раскладываем знаменатели: 8 = 2³, 12 = 2² · 3. Берём 2³ и 3, поэтому НОК(8, 12) = 2³ · 3 = 24.
2. Для 3/8 дополнительный множитель равен 24 : 8 = 3. Умножаем оба числа: 3/8 = (3 · 3)/(8 · 3) = 9/24.
3. Для 5/12 дополнительный множитель равен 24 : 12 = 2. Получаем 5/12 = (5 · 2)/(12 · 2) = 10/24.

Ответ: 9/24 и 10/24. У обеих дробей знаменатель 24, а каждая получена умножением числителя и знаменателя исходной дроби на одно число.

Привести дроби 7/18, 5/24 и 11/36 к наименьшему общему знаменателю

Теперь нужно учесть сразу три знаменателя, поэтому разложим каждый из них на простые множители. В наименьшее общее кратное войдут все встречающиеся простые множители в наибольших степенях. Затем вычисления для каждой дроби выполняются отдельно, но общий знаменатель у них будет один.

1. Разлагаем знаменатели: 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3, 36 = 2² · 3². Берём 2³ и 3², поэтому НОК(18, 24, 36) = 2³ · 3² = 72.
2. Для 7/18 множитель равен 72 : 18 = 4. Тогда 7/18 = (7 · 4)/(18 · 4) = 28/72.
3. Для 5/24 множитель равен 72 : 24 = 3. Тогда 5/24 = (5 · 3)/(24 · 3) = 15/72.
4. Для 11/36 множитель равен 72 : 36 = 2. Тогда 11/36 = (11 · 2)/(36 · 2) = 22/72.

Ответ: 28/72, 15/72 и 22/72. Все знаменатели равны 72, а числитель каждой дроби умножен на тот же множитель, что и её знаменатель.

Типичные ошибки

Умножают знаменатель, но забывают умножить числитель. Тогда размер частей меняется, а их количество — нет, поэтому получается уже другая дробь. Такую ошибку легко допустить, сосредоточившись на подборе знаменателя. Проверь, что в записи рядом умножены и верхнее, и нижнее числа дроби.

Выбирают число, которое не делится на один из знаменателей. Оно не даст получить нужный знаменатель умножением на целое число. Иногда кажется, что достаточно выбрать число побольше, но большой размер сам по себе не гарантирует делимость. Раздели выбранное число на каждый исходный знаменатель: все частные должны быть целыми.

Находят дополнительный множитель в обратном порядке. Если разделить знаменатель дроби на общий знаменатель, получится не нужное число. Причина обычно в том, что перепутали, какое число должно стать новым знаменателем. Проверь делением общего знаменателя на исходный: именно произведение исходного знаменателя и множителя должно дать общий.

Считают, что общий знаменатель обязательно должен быть наименьшим. Это не так: подойдёт любое число, которое делится на все исходные знаменатели. Наименьшее выбирают ради более простых вычислений, а не потому, что другие варианты запрещены. Для проверки убедись, что выбранное число кратно каждому знаменателю и что множители целые.

Связь с другими темами

Для приведения дробей нужно знать, что такое числитель и знаменатель, и уметь умножать их на одно и то же число. Разложение чисел на простые множители и нахождение наименьшего общего кратного помогают быстрее выбирать наименьший общий знаменатель. Этот приём особенно нужен перед сложением и вычитанием дробей с разными знаменателями: сначала доли записывают в одинаковых единицах, а затем выполняют действие.

Что запомнить

• При умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число значение дроби не меняется.
• Общий знаменатель должен делиться на каждый из исходных знаменателей.
• Наименьший общий знаменатель равен наименьшему общему кратному знаменателей.
• Дополнительный множитель получают делением общего знаменателя на знаменатель дроби.
• На дополнительный множитель умножают и числитель, и знаменатель.
• После преобразования у всех дробей должны быть одинаковые знаменатели.