§ 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Например, (x + 3)/(2x) содержит переменную и числа, а вместо выражений в обычной дроби могут стоять и многочлены. Знаменатель такой дроби не должен быть равен нулю, иначе деление не определено. Это условие помогает понять, при каких значениях переменной запись вообще имеет смысл.

Числитель — выражение над чертой дроби, а знаменатель — выражение под чертой. Числитель показывает, что делят, а знаменатель — на что делят. Например, в дроби (a + 1)/(a − 2) числителем служит a + 1, а знаменателем — a − 2. Такое различение нужно, чтобы правильно находить ограничения и выполнять преобразования.

Область допустимых значений переменной — все значения переменной, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Для дроби 1/(x − 4) значение x = 4 недопустимо, потому что при нём знаменатель становится нулём. Остальные значения можно рассматривать, если они не обращают знаменатель в ноль. ОДЗ определяют до сокращения дроби.

Сокращение алгебраической дроби — замена её равной дробью с меньшими числителем и знаменателем путём деления обоих на общий множитель. Например, дробь 6x/9x можно сократить на общий множитель 3x, если x ≠ 0. Сокращение упрощает запись, но не меняет значение дроби при допустимых значениях переменной. Поэтому вместе с ответом учитывают ограничения исходной записи.

Как это устроено

Обыкновенные дроби вроде 3/5 состоят из чисел, а в алгебраической дроби на их месте могут стоять выражения. Например, в (x + 1)/(x + 4) числитель и знаменатель зависят от x, поэтому значение дроби меняется вместе с переменной. При этом правила работы с дробями остаются знакомыми: важны числитель, знаменатель и равенство дробей. Такая запись позволяет компактно описывать отношения выражений и преобразовывать их.

Нулевой знаменатель исключают потому, что деление на ноль невозможно. Поэтому для дроби 5/(x − 2) значение x = 2 не подходит: подстановка даст ноль под чертой. Чтобы найти все запрещённые значения, знаменатель приравнивают к нулю и решают уравнение. Полученные значения записывают как ограничения, а остальные допустимые значения образуют ОДЗ.

При сокращении числитель и знаменатель делят на один и тот же ненулевой общий множитель. Это сохраняет значение дроби: если a и b делятся на c, то a/b = (a/c)/(b/c), когда b ≠ 0 и c ≠ 0. Например, 12/18 = 2/3, потому что оба числа разделили на 6. Если делить только верхнюю или только нижнюю часть, значение изменится, поэтому сокращают именно пару числитель–знаменатель.

Сокращают множители, а не слагаемые. В выражении x + 3 буква x является частью суммы, а не множителем всего выражения, поэтому «вычеркнуть» её нельзя. Например, дробь (x + 3)/x нельзя превратить в 3, но дробь (x · 3)/x можно сократить на x при x ≠ 0. Чтобы увидеть общие множители, числитель и знаменатель сначала представляют в виде произведений.

Работа с дробью идёт в определённом порядке. Сначала по исходному знаменателю находят значения переменной, которые нужно исключить; затем раскладывают числитель и знаменатель на множители и сокращают общий множитель. После преобразования записывают полученную дробь вместе с исходными ограничениями. Такой порядок не позволяет случайно включить значение, при котором первоначальная дробь не была определена.

Алгебраическая дробь и её сокращение

Пользуйся таблицей как кратким планом: сначала проверь знаменатель, затем ищи общий множитель. Если выражение записано суммой или разностью, попробуй разложить его на множители. В конце обязательно сверь ответ с ограничениями исходной дроби.

Разбор задач

1. Сократить дробь 12a/18a и указать ограничение на a

В знаменателе стоит 18a, поэтому сначала выясним, когда исходная дробь определена. Затем найдём, на что делятся и числовые коэффициенты, и буквенная часть. Нельзя забывать, что деление на буквенный множитель допустимо только при его ненулевом значении.

1. Приравниваем знаменатель нулю: 18a = 0, откуда a = 0. Значит, a ≠ 0.
2. Записываем числитель и знаменатель как произведения: 12a = 6 · 2a, 18a = 6 · 3a. Общий множитель — 6a.
3. Делим обе части дроби на 6a: 12a/18a = 2/3. Сокращение допустимо при a ≠ 0.

Ответ: 2/3, a ≠ 0. Хотя переменная исчезла из сокращённой дроби, исходная запись при a = 0 не имела смысла.

2. Сократить дробь (x² − 4)/(x² + 2x)

Сразу сокращать здесь нечего: числитель и знаменатель записаны как многочлены, а не как произведения. Сначала разложим их, используя разность квадратов и вынесение общего множителя за скобки. Ограничения найдём по исходному знаменателю, чтобы не потерять запрещённое значение.

1. Решаем x² + 2x = 0. Выносим x: x(x + 2) = 0, поэтому x ≠ 0 и x ≠ −2.
2. Разлагаем числитель: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Знаменатель уже разложен: x² + 2x = x(x + 2).
3. Сокращаем общий множитель x + 2: (x − 2)(x + 2)/(x(x + 2)) = (x − 2)/x. Учитываем, что сокращение не снимает ограничений исходного знаменателя.

Ответ: (x − 2)/x, x ≠ 0 и x ≠ −2. При x = −2 исходная дробь не определена, даже если сокращённая запись при подстановке этого значения имеет смысл.

3. Сократить дробь (x² − 6x + 9)/(x² − 9) и проверить допустимые значения

В числителе находится квадрат разности, а знаменатель является разностью квадратов. У обеих частей появится общий множитель, но до сокращения нужно определить, какие значения запрещает знаменатель. После преобразования отдельно сравним области допустимых значений исходной и сокращённой дробей.

1. Приравниваем исходный знаменатель к нулю: x² − 9 = 0, то есть (x − 3)(x + 3) = 0. Для исходной дроби x ≠ 3 и x ≠ −3.
2. Разлагаем числитель: x² − 6x + 9 = (x − 3)². Знаменатель раскладывается так: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. Сокращаем один общий множитель x − 3. Получаем (x − 3)/(x + 3), но сохраняем оба ограничения исходной дроби.
4. У сокращённой записи знаменатель запрещает x = −3. Однако x = 3 всё равно исключено из-за исходной дроби.

Ответ: (x − 3)/(x + 3), x ≠ 3 и x ≠ −3. Сокращённая дробь сама по себе допускает x = 3, но равенство с исходной дробью рассматривается только при значениях из её ОДЗ.

Типичные ошибки

Ошибка: сокращать отдельные слагаемые, например «вычёркивать» x в дроби (x + 2)/x. Так делают, потому что сокращение путают с удалением одинаковых букв, но числитель здесь является суммой, а не произведением. Проверь себя: можно ли представить всю верхнюю и нижнюю части произведениями с общим множителем? Если нет, сокращать нечего.

Ошибка: сокращать множитель, который не является общим для всего числителя и знаменателя. Например, в (x + 2)/(x + 5) буква x встречается сверху и снизу, но не умножает целиком ни числитель, ни знаменатель. Перед сокращением разложи обе части на множители и проверь, что один и тот же множитель входит в каждую целиком. Если этого нет, дробь так не сокращают.

Ошибка: забыть проверить, при каких значениях знаменатель равен нулю. Тогда в ответ может попасть значение, при котором исходная дробь не определена. Для проверки приравняй именно исходный знаменатель к нулю и реши полученное уравнение. Найденные значения исключи до любых сокращений.

Ошибка: считать, что после сокращения запрещённые значения исчезают. Например, если сократился множитель, который обращался в ноль, ученик может решить, что это значение снова допустимо. Но сокращение преобразует дробь только там, где исходная запись имела смысл. Поэтому ограничения находят до сокращения и переносят в ответ.

Связь с другими темами

Для работы с алгебраическими дробями нужны знания о числителе и знаменателе, основном свойстве дроби и действиях с отрицательными числами и буквенными выражениями. Сокращению помогают разложение многочлена на множители, вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращённого умножения. Эти приёмы позволяют подготовить выражения к поиску общего множителя. Позже алгебраические дроби встретятся при действиях с дробями, преобразовании выражений и решении уравнений.

Что запомнить

• Алгебраическая дробь имеет смысл только при ненулевом знаменателе.
• Значения, обращающие исходный знаменатель в ноль, исключаются.
• Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя.
• Слагаемые нельзя сокращать по отдельности.
• Перед сокращением часто нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
• Ограничения по исходному знаменателю сохраняются после сокращения.