§ 24. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Например, (x + 3)/(x − 5) и 6x²y/(9xy²) — алгебраические дроби. С ними выполняют те же основные действия, что и с обыкновенными дробями.

Допустимые значения переменной — значения, при которых знаменатель алгебраической дроби не равен нулю. Их находят до преобразований дроби. Эти ограничения показывают, при каких значениях выражение имеет смысл.

Сокращение алгебраической дроби — деление числителя и знаменателя на общий ненулевой множитель. После этого запись становится короче и удобнее для вычислений. Само значение дроби при допустимых значениях переменной не меняется.

Тождественно равные алгебраические дроби — дроби, принимающие одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Равенство относится именно к тем значениям, при которых обе дроби определены. Поэтому ограничения исходной дроби нельзя терять.

Как это устроено

Знаменатель показывает, на какое выражение делят числитель. Деление на ноль невозможно, потому что не существует числа, которое при умножении на ноль даёт нужный результат. Поэтому для дроби 1/(x − 5) сначала решают условие x − 5 = 0. Получают x = 5 и исключают это значение: x ≠ 5.

Основное свойство дроби позволяет умножать или делить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число. Действительно, при делении дроби a/b на c/c получается (a : c)/(b : c), а множитель c взаимно уничтожается. В алгебре вместо числа может выступать выражение, но оно также не должно быть равно нулю. Именно поэтому (6x)/(9x) можно заменить на 2/3 только при x ≠ 0.

Общий множитель не всегда виден в исходной записи. Например, в выражениях x² − 9 и x² + 6x + 9 он появляется после применения формул сокращённого умножения: (x − 3)(x + 3) и (x + 3)². После разложения одинаковый множитель x + 3 легко обнаружить. Такой способ помогает превратить сложную дробь в более простую.

Сокращение возможно только между множителями, соединёнными умножением. В дроби (x + 2)/x выражение x + 2 является одним слагаемым-выражением, а не произведением двух множителей. Нельзя убрать x из суммы, потому что это изменило бы правила сложения. Сначала нужно было бы разложить всё выражение на множители, если такое разложение возможно.

При сокращении общий множитель делят на него, поэтому предполагают, что он не равен нулю. Кроме того, исходный знаменатель уже мог запрещать некоторые значения переменной. После преобразования эти значения иногда исчезают из новой записи, но исходная дробь по-прежнему не была для них определена. Поэтому ограничения записывают до сокращения и сохраняют в ответе.

Алгебраическая дробь и её сокращение

Таблица показывает обычный порядок действий. Сначала проверяют знаменатель и находят недопустимые значения, затем ищут общие множители. Если общего множителя нет, дробь оставляют без изменений.

Разбор задач

Задача 1. Допустимые значения

Условие: указать допустимые значения переменной для дроби (x + 3)/(x − 5). Числитель здесь ограничений не создаёт. Нужно проверить только знаменатель.

1. Приравняем знаменатель к нулю: x − 5 = 0.
2. Решим уравнение: x = 5. Это значение исключается, потому что при нём знаменатель равен нулю.

Ответ: x ≠ 5. Все остальные значения x являются допустимыми.

Задача 2. Сокращение одночленов

Условие: сократить дробь 6x²y/(9xy²). Перед сокращением нужно учесть, что x и y находятся в знаменателе. Поэтому исходные ограничения: x ≠ 0 и y ≠ 0.

1. Разложим коэффициенты и степени: 6x²y/(9xy²) = (2 · 3 · x · x · y)/(3 · 3 · x · y · y).
2. Сократим общие множители 3, x и y: получим 2x/(3y). Сокращение допустимо при указанных ограничениях.

Ответ: 2x/(3y), x ≠ 0, y ≠ 0. Ограничения относятся к исходной дроби и остаются в ответе.

Задача 3. Разложение многочленов

Условие: сократить дробь (x² − 9)/(x² + 6x + 9) и указать ограничения. Сначала найдём запрет по исходному знаменателю. Затем применим формулы разности квадратов и квадрата суммы.

1. Решаем x² + 6x + 9 = 0, то есть (x + 3)² = 0, поэтому x ≠ −3.
2. Разложим дробь: (x² − 9)/(x² + 6x + 9) = ((x − 3)(x + 3))/((x + 3)²).
3. Сократим общий множитель x + 3 и получим (x − 3)/(x + 3). Ограничение x ≠ −3 сохраняем.

Ответ: (x − 3)/(x + 3), x ≠ −3. Новая дробь равна исходной только при допустимых значениях переменной.

Типичные ошибки

Сокращают отдельные слагаемые, например в дроби (x + 2)/x пытаются убрать x. Так происходит из-за смешения сложения и умножения. Проверка: сокращение должно быть записано как деление всего числителя и знаменателя на один общий множитель.

Забывают исключить значения, при которых исходный знаменатель равен нулю. После сокращения такое значение может перестать быть заметным в знаменателе. Проверяйте ограничения до преобразования, а не только окончательную запись.

Сокращают множитель, который может быть равен нулю, и не записывают условие на переменную. Например, при сокращении x в дроби 6x/9x обязательно нужно указать x ≠ 0. Самопроверка проста: найдите значения, при которых каждый сокращаемый множитель обращается в ноль.

Неправильно раскладывают многочлены на множители, особенно по формулам сокращённого умножения. Ошибка меняет всю дробь и может создать несуществующий общий множитель. Проверьте разложение обратным действием: раскройте скобки и сравните результат с исходным многочленом.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны обыкновенные дроби и их основное свойство. Также пригодятся действия с одночленами и многочленами, потому что числитель и знаменатель часто преобразуют как алгебраические выражения.

Сокращение тесно связано с разложением многочленов на множители и формулами сокращённого умножения. Именно они помогают увидеть одинаковые множители в числителе и знаменателе.

Навык понадобится при сложении, вычитании, умножении и делении алгебраических дробей. Он также используется при решении рациональных уравнений, где ограничения на переменную особенно важны.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю.
• Допустимые значения переменной находят по исходному знаменателю.
• При сокращении делят числитель и знаменатель на один и тот же общий ненулевой множитель.
• Сокращать можно только множители, но не слагаемые.
• Для поиска общих множителей часто нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
• После сокращения ограничения на переменную сохраняются.
• Сокращённая дробь равна исходной только при допустимых значениях переменной.