"Алгебра", Алимов Ш.А.
Алгебраические дроби — это дроби с выражениями в числителе и знаменателе. Их складывают и вычитают по тем же правилам, что и обыкновенные: при одинаковых знаменателях действуют только с числителями, а при разных сначала находят общий знаменатель. Для этого удобно разложить знаменатели на множители и выбрать наименьший общий знаменатель. В конце проверяют, можно ли сократить результат, и указывают значения переменной, при которых исходные знаменатели не равны нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и знаменателе которой записаны выражения, например 3/(x + 2). Знаменатель такой дроби не должен быть равен нулю, поэтому в примере x ≠ −2. Это условие показывает, при каких значениях переменной дробь имеет смысл.
Общий знаменатель — выражение, которое делится на знаменатели всех складываемых или вычитаемых дробей. Например, для знаменателей x и x + 1 общим будет x(x + 1). Он нужен, чтобы представить дроби как части одного размера и затем сложить или вычесть их числители.
Наименьший общий знаменатель — общий знаменатель, выбранный без лишних множителей. Для знаменателей x и x(x + 1) им будет x(x + 1), а не более громоздкое выражение. Такой выбор помогает не усложнять вычисления и уменьшает риск ошибки.
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю — замена дробей равными им дробями с одинаковыми знаменателями. Чтобы дробь не изменилась, её числитель и знаменатель умножают на одно и то же выражение. Это действие подготавливает дроби к сложению или вычитанию.
Если знаменатели одинаковы, складывать или вычитать нужно только числители. Это следует из правил для обыкновенных дробей: части имеют одинаковый размер, поэтому меняется лишь их количество. Например, 3/(x + 2) + 5/(x + 2) означает три и пять одинаковых частей, то есть 8/(x + 2).
При разных знаменателях сначала нужно получить части одинакового размера. Для этого подбирают общий знаменатель и выясняют, на какой множитель надо умножить каждый исходный знаменатель. На тот же множитель умножают числитель: так значение дроби остаётся прежним, ведь числитель и знаменатель увеличиваются во столько же раз.
Общий знаменатель удобно находить по множителям знаменателей. Сначала знаменатели раскладывают на множители, затем берут все различные множители в нужных степенях, чтобы каждый исходный знаменатель делил полученное выражение. Выбор наименьшего общего знаменателя сокращает записи: дополнительные множители создавали бы более крупные числа и выражения, но не помогали бы вычислять.
При вычитании знак минус относится ко всей вычитаемой дроби, а после приведения дробей — ко всему её числителю. Если числитель состоит из нескольких слагаемых, его удобно заключить в скобки: например, A − (B − C) = A − B + C. Раскрывая скобки, меняй знак у каждого слагаемого внутри них, иначе часть числителя будет вычтена неверно.
После сложения или вычитания полученную дробь проверяют на сокращение. Сокращать можно только общий множитель числителя и знаменателя, а не отдельные слагаемые. Кроме того, значения переменной, запрещённые исходными знаменателями, остаются запрещёнными и после сокращения: упрощение записи не меняет область допустимых значений исходного выражения.
Таблица помогает выбрать порядок действий в зависимости от знаменателей и знака операции. Сначала найди, одинаковы ли знаменатели, а затем выполни нужное действие с числителями. В последней строке проверь сокращение и ограничения на переменную.
| Ситуация | Что сделать со знаменателями | Что сделать с числителями | Результат |
|---|---|---|---|
| Одинаковые знаменатели | Оставить прежними | Сложить | Сумма числителей над прежним знаменателем |
| Разные знаменатели | Привести к общему знаменателю | Умножить на недостающие множители, затем сложить | Сумма над общим знаменателем |
| Вычитание второй дроби | Привести к общему знаменателю | Вычесть второй числитель с учётом знаков | Разность над общим знаменателем |
| Завершение действия | Проверить полученный знаменатель | Проверить возможность сокращения | Записать ответ и ограничения на переменную |
Задача 1. Выполнить действие: 3/(x + 2) + 5/(x + 2). Знаменатели уже одинаковы, поэтому искать новый знаменатель не нужно. Сначала запишем ограничение, чтобы исходная дробь была определена.
Ответ: 8/(x + 2), x ≠ −2. Полученную дробь сократить нельзя, так как у числителя 8 и знаменателя x + 2 нет общего множителя, который можно вынести из знаменателя.
Задача 2. Выполнить действие: 1/x + 2/(x + 1). Знаменатели различаются и не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель — x(x + 1). Сразу отметим значения, при которых исходные дроби не существуют.
Ответ: (3x + 1)/(x(x + 1)), x ≠ 0, −1. Общего множителя числителя и знаменателя нет, поэтому результат не сокращается. Оба ограничения сохраняются, поскольку они появились в исходных дробях.
Задача 3. Выполнить действие: 2/(x − 1) − 1/(x + 1) − 2/(x² − 1). В знаменателе третьей дроби есть разность квадратов: x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Поэтому общий знаменатель — (x − 1)(x + 1), и исходное выражение требует x ≠ 1 и x ≠ −1.
Ответ: 1/(x − 1), x ≠ 1, −1. Значение x = −1 остаётся запрещённым, хотя после сокращения его уже не видно в знаменателе. Ограничения определяются исходным выражением, а не только упрощённой записью.
Ошибка: складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Так делают, перенося действие на дроби как на обычные выражения, но части с разными размерами нельзя объединять таким способом. При одинаковых знаменателях проверь: в результате этот знаменатель должен остаться прежним.
Ошибка: при приведении дроби к общему знаменателю домножить знаменатель, но забыть про числитель. Тогда значение дроби изменится, потому что равенство сохраняется только при умножении обеих частей дроби на один множитель. Для проверки сравни множители: сверху и снизу у каждой дроби они должны совпадать.
Ошибка: потерять минус перед вычитаемой дробью или скобками. Обычно это происходит, когда раскрывают скобки и меняют знак не у всех слагаемых. Запиши числитель в скобках после знака вычитания, затем проверь каждое слагаемое: все его знаки должны измениться.
Ошибка: не указать ограничения на переменную или забыть их после сокращения. Так происходит, если смотреть только на окончательный знаменатель, а не на исходные дроби. Найди нули каждого исходного знаменателя и исключи эти значения; сокращение не делает их допустимыми.
Для сложения и вычитания алгебраических дробей нужны правила действий с обыкновенными дробями и умение находить общий знаменатель. Также полезно разлагать многочлены на множители и применять формулы сокращённого умножения, например разность квадратов. Те же приёмы понадобятся при умножении и делении алгебраических дробей, преобразовании рациональных выражений и решении уравнений.
Почему при сложении дробей нельзя просто сложить знаменатели?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое. Складывая дроби с одинаковым знаменателем, мы складываем количество таких частей, а размер части остаётся прежним. Поэтому складывают числители, а знаменатель сохраняют.
Как выбрать общий знаменатель алгебраических дробей?
Разложи знаменатели на множители и составь выражение, в которое входят все нужные множители. Каждый исходный знаменатель должен делить это выражение. Обычно выбирают наименьший общий знаменатель: с ним вычисления короче.
Нужно ли раскладывать знаменатели на множители?
Не всегда, но разложение помогает заметить общие множители и найти наименьший общий знаменатель. Например, x² − 1 раскладывается в произведение (x − 1)(x + 1). Это облегчает приведение дробей и последующее сокращение.
Как не ошибиться со знаком при вычитании дроби?
Запиши вычитаемую дробь в скобках и поставь перед скобками минус. При раскрытии скобок поменяй знак каждого слагаемого внутри них. После этого проверь, что минус учтён у всего числителя.
Почему в ответе нужно указывать ограничения на переменную?
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому некоторые значения переменной недопустимы. Ограничения находят по знаменателям исходного выражения. Даже если после сокращения переменная исчезла из знаменателя, первоначальные ограничения сохраняются.
§ 26. Сложение и вычитание алгебраических дробей
