1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями. Например, 3/(x + 1) — алгебраическая дробь. Её знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому здесь x ≠ −1. Это условие помогает понять, при каких значениях переменной выражение имеет смысл.

Общий знаменатель — выражение, которое делится без остатка на знаменатели всех складываемых или вычитаемых дробей. Например, для дробей со знаменателями x и x + 3 таким выражением будет x(x + 3). Общий знаменатель нужен, чтобы представить дроби частями одинакового размера. Тогда их можно складывать или вычитать по числителям.

Наименьший общий знаменатель — наиболее простой общий знаменатель, который удобно получить из наименьшего общего кратного знаменателей дробей. Он не содержит лишних множителей, поэтому вычисления обычно короче. Например, если один знаменатель уже является множителем другого, в общий знаменатель достаточно взять больший. Так меньше вероятность усложнить выражение без необходимости.

Дополнительный множитель — выражение, на которое умножают числитель и знаменатель дроби при приведении к общему знаменателю. Его находят, разделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби. Умножение сверху и снизу на одно и то же ненулевое выражение не меняет значения дроби. Этот множитель позволяет получить нужный знаменатель.

Как это устроено

При одинаковых знаменателях дроби состоят из частей одного размера. Если к нескольким таким частям добавить ещё несколько, меняется только их количество, то есть числитель. Поэтому знаменатель оставляют прежним: A/C + B/C = (A + B)/C, а при вычитании используют разность числителей. Сам знаменатель должен оставаться ненулевым.

Если знаменатели разные, части дробей имеют разный размер, поэтому сразу объединить их количества нельзя. Сначала ищут выражение, которое делится на каждый знаменатель, — общий знаменатель. Для этого знаменатели раскладывают на множители, чтобы увидеть, какие элементы уже есть и каких не хватает. В общий знаменатель включают все необходимые множители, не дублируя одинаковые.

Когда общий знаменатель найден, для каждой дроби определяют дополнительный множитель: общий знаменатель делят на исходный. Затем на этот множитель умножают и числитель, и знаменатель дроби. Такое умножение равносильно умножению на 1, поэтому значение дроби сохраняется. В результате у всех дробей становится одинаковый знаменатель.

После приведения дробей к общему знаменателю выполняют сложение или вычитание числителей, а общий знаменатель записывают один раз. Если в числителе есть скобки, при вычитании второй дроби важно изменить знаки всех её слагаемых. Затем проверяют, можно ли разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общий множитель. При сокращении ограничения на переменную, заданные исходным выражением, всё равно сохраняют.

Перед приведением к общему знаменателю полезно разложить знаменатели на множители: так видны общие части и легче выбрать наименьший общий знаменатель. Если дробь можно сократить заранее, её знаменатель иногда становится проще, а вычисления — короче. Сокращать разрешено только общие множители числителя и знаменателя, а не отдельные слагаемые. Исходные ограничения при этом записывают до преобразований, чтобы случайно не разрешить запрещённое значение.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Пользуйся таблицей как кратким планом: сначала сравни знаменатели, затем выбери нужное действие. Если знаменатели разные, приведи дроби к общему знаменателю и только после этого складывай или вычитай числители. В конце проверь, можно ли упростить дробь, и запиши ограничения на переменную.

Разбор задач

В первой задаче знаменатели совпадают, поэтому приводить дроби к новому знаменателю не нужно. Надо сложить числители и оставить общий знаменатель. Перед записью ответа найдём значение переменной, запрещённое исходным знаменателем.

Задача. Выполните действие: 3/(x + 1) + 2/(x + 1).

1. Знаменатели одинаковы: x + 1. Значение x = −1 запрещено, поскольку при нём знаменатель равен нулю.
2. Складываем числители и сохраняем знаменатель: (3 + 2)/(x + 1) = 5/(x + 1).

Ответ: 5/(x + 1), x ≠ −1. Во второй задаче знаменатели различаются, поэтому удобный общий знаменатель — произведение x и x + 3. Проверяем оба исходных знаменателя и не допускаем значений, при которых любой из них обращается в ноль.

Задача. Выполните действие: 1/x + 2/(x + 3).

1. Ограничения исходных дробей: x ≠ 0 и x ≠ −3. Общий знаменатель — x(x + 3).
2. Для первой дроби дополнительный множитель равен x + 3, для второй — x. Получаем (x + 3)/(x(x + 3)) + 2x/(x(x + 3)).
3. Складываем числители: (x + 3 + 2x)/(x(x + 3)) = (3x + 3)/(x(x + 3)). Числитель можно разложить: 3(x + 1).

Ответ: (3x + 3)/(x(x + 3)), x ≠ 0, −3. В третьей задаче сначала разложим разность квадратов, иначе общий множитель знаменателей будет не так заметен. После этого приведём дроби к общему знаменателю и не забудем, что ограничения берутся из исходной записи.

Задача. Выполните действие: 1/(x² − 1) − 1/(x − 1).

1. Разложим x² − 1 = (x − 1)(x + 1). Из исходных знаменателей следует, что x ≠ 1 и x ≠ −1.
2. Общий знаменатель — (x − 1)(x + 1). Первую дробь менять не нужно, а вторую умножаем сверху и снизу на x + 1.
3. Вычитаем числители: [1 − (x + 1)]/[(x − 1)(x + 1)] = −x/[(x − 1)(x + 1)]. Общих множителей, которые можно сократить, нет.

Ответ: −x/[(x − 1)(x + 1)], x ≠ 1, −1. Хотя в преобразованиях использовались сокращения или разложения, запрещённые исходными знаменателями значения остаются запрещёнными. Перед сдачей решения можно проверить, что общий знаменатель делится на каждый исходный.

Типичные ошибки

Складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями нельзя: например, выражение 1/2 + 1/3 не равно 2/5. Такая ошибка возникает, когда правило для чисел переносят на дроби, не учитывая размер их частей. Сначала приводят дроби к одинаковому знаменателю, а затем действуют только с числителями. Проверка: убедись, что в итоговой записи общий знаменатель не изменился при самом сложении или вычитании.

При приведении к общему знаменателю иногда умножают только знаменатель. Тогда значение дроби изменяется, потому что числитель и знаменатель уже не увеличены в одинаковое число раз. На дополнительный множитель нужно умножать обе части дроби. Проверить себя можно, сравнив: исходная дробь и полученная должны отличаться только записью, а не значением.

Если забыть один из множителей общего знаменателя, знаменатель какой-то дроби не удастся привести к выбранному виду. Обычно это происходит при разложении многочленов или спешке. Разложи знаменатели на множители и проверь делимость общего знаменателя на каждый из них. Если делимости нет, общий знаменатель подобран неверно.

После сокращения дроби можно забыть ограничения на переменную. Причина в том, что сокращённая запись иногда выглядит определённой при значении, запрещённом в исходном выражении. Записывай ограничения сразу по исходным знаменателям и переноси их в ответ. Проверка проста: подставь запрещённое значение в исходные знаменатели — если хотя бы один равен нулю, оно не допускается.

Связь с другими темами

Для сложения и вычитания дробей нужны навыки сокращения алгебраических дробей, разложения многочленов на множители и поиска общего знаменателя числовых дробей. Если эти действия пока вызывают трудности, потренируй каждое отдельно: они постоянно используются в решении примеров. Особенно полезно уметь раскладывать разность квадратов и выносить общий множитель.

Тот же способ приведения к общему знаменателю понадобится при умножении и делении алгебраических дробей, преобразовании рациональных выражений и решении рациональных уравнений. В уравнениях ограничения на переменную помогают не включить в ответ значения, при которых исходная запись не имеет смысла. Поэтому аккуратная работа со знаменателями пригодится и в следующих темах.

Что запомнить

• С одинаковыми знаменателями складывают или вычитают числители.
• При разных знаменателях сначала приводят дроби к общему знаменателю.
• Для поиска общего знаменателя удобно разложить знаменатели на множители.
• При умножении дроби на дополнительный множитель умножают и числитель, и знаменатель.
• После действия упрощают результат, если это возможно.
• Ограничения на переменную определяются исходными знаменателями.