§ 2. Сложение и вычитание алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями; знаменатель не должен быть равен нулю. Например, 3x/(x − 2) — алгебраическая дробь, но при x = 2 она не определена. Это условие нужно учитывать, прежде чем преобразовывать дробь.

Область допустимых значений (ОДЗ) — значения переменных, при которых ни один знаменатель исходного выражения не обращается в ноль. Например, для выражения 1/(x − 4) допустимы все x, кроме 4. ОДЗ показывает, какие значения можно подставлять в выражение и какие ограничения следует записать в ответе.

Общий знаменатель — выражение, которое делится без остатка на каждый из знаменателей складываемых или вычитаемых дробей. Для дробей со знаменателями x − 1 и x + 1 таким знаменателем будет (x − 1)(x + 1). Он позволяет переписать дроби в равных им формах и затем выполнить действие.

Дополнительный множитель — выражение, на которое умножают числитель и знаменатель дроби, чтобы привести её к общему знаменателю. Если знаменатель x − 1 нужно превратить в (x − 1)(x + 1), дополнительный множитель равен x + 1. Он нужен, чтобы изменить запись дроби, не изменяя её значения.

Как это устроено

Если у дробей одинаковые знаменатели, каждая из них показывает, сколько частей одного и того же размера взято. Поэтому при сложении или вычитании меняется только количество таких частей: складывают или вычитают числители. Знаменатель остаётся общим размером частей, например A/C + B/C = (A + B)/C. Это правило действует при условии, что C ≠ 0.

Если знаменатели разные, сначала требуется представить дроби в виде частей одинакового размера. Для этого знаменатели раскладывают на множители, чтобы увидеть, какие части у них общие и каких не хватает. В общий знаменатель включают каждый множитель, необходимый для того, чтобы он делился на все исходные знаменатели. Например, для x(x + 1) и (x + 1)(x − 2) подходит x(x + 1)(x − 2).

После выбора общего знаменателя определяют дополнительный множитель для каждой дроби: выясняют, на что нужно умножить её знаменатель, чтобы получить общий. Затем на то же выражение умножают числитель. Так используют основное свойство дроби: умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение сохраняет её значение. Проверка проста: новый знаменатель каждой дроби должен совпасть с выбранным общим знаменателем.

Когда все дроби приведены к одному знаменателю, можно считать их числители выражениями с одинаковым знаменателем. Поэтому выполняют сложение или вычитание только в числителе, а общий знаменатель записывают один раз. При вычитании особенно важно заключать вычитаемый числитель в скобки: знак минус перед скобками меняет знаки всех его слагаемых. После раскрытия скобок подобные слагаемые приводят.

Ограничения на переменные находят по знаменателям исходного выражения, потому что именно исходные дроби должны быть определены. При преобразованиях выражение может сократиться, и в упрощённой записи запрещённый множитель исчезнет. Но первоначальное выражение всё равно не имело значения при соответствующей переменной, поэтому это ограничение сохраняют в ответе. Сокращение упрощает запись, но не расширяет ОДЗ исходного выражения.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Таблица помогает выбрать действия в зависимости от вида знаменателей. Начните с проверки ОДЗ, затем найдите общий знаменатель и примените подходящую строку. После вычислений проверьте, можно ли сократить результат, не забывая об исходных ограничениях.

Разбор задач

Задача 1. Выполнить действие: 7a/(a − 3) − 2a/(a − 3). Знаменатели уже одинаковы, поэтому общий знаменатель искать не нужно. Сначала отметим ограничение: знаменатель обращается в ноль при a = 3. Затем вычтем числители и проверим, можно ли упростить ответ.

1. ОДЗ: a − 3 ≠ 0, значит, a ≠ 3.
2. Знаменатель оставляем прежним, а числители вычитаем: (7a − 2a)/(a − 3).
3. Приводим подобные слагаемые: 7a − 2a = 5a.

Ответ: 5a/(a − 3), a ≠ 3. Полученную дробь сократить нельзя: у числителя 5a и знаменателя a − 3 нет общего множителя. Ограничение записано по исходному знаменателю и остаётся частью ответа.

Задача 2. Выполнить действие: 2/(x − 3) + 5/(x + 3). Знаменатели разные, поэтому сначала подберём выражение, кратное каждому из них. Множители x − 3 и x + 3 различны, значит, их произведение подходит для общего знаменателя. До преобразования также исключим значения, при которых исходные знаменатели равны нулю.

1. ОДЗ: x − 3 ≠ 0 и x + 3 ≠ 0, значит, x ≠ 3 и x ≠ −3.
2. Общий знаменатель — (x − 3)(x + 3). Для первой дроби дополнительный множитель x + 3, для второй — x − 3.
3. Домножаем числители и знаменатели: 2(x + 3)/((x − 3)(x + 3)) + 5(x − 3)/((x + 3)(x − 3)).
4. Вычисляем числитель: 2x + 6 + 5x − 15 = 7x − 9.

Ответ: (7x − 9)/((x − 3)(x + 3)), x ≠ 3, x ≠ −3. В числителе и знаменателе нет общего множителя, поэтому сокращения не получается. Скобки показывают, что общий знаменатель является произведением двух выражений.

Задача 3. Упростить выражение: x/(x² − 4) − 1/(x − 2) + 3/(x + 2). Здесь один знаменатель является разностью квадратов, поэтому его удобно разложить на множители. После этого все три дроби можно привести к одному знаменателю. Исходные знаменатели сразу задают ограничения, которые надо сохранить и после сокращения.

1. ОДЗ: x² − 4 ≠ 0, x − 2 ≠ 0 и x + 2 ≠ 0, поэтому x ≠ 2 и x ≠ −2.
2. Разлагаем: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Общий знаменатель — (x − 2)(x + 2).
3. Приводим дроби: x/((x − 2)(x + 2)) − (x + 2)/((x − 2)(x + 2)) + 3(x − 2)/((x − 2)(x + 2)).
4. Выполняем действия в числителе: x − (x + 2) + 3(x − 2) = x − x − 2 + 3x − 6 = 3x − 8.

Ответ: (3x − 8)/((x − 2)(x + 2)), x ≠ 2, x ≠ −2. Общего множителя у числителя и знаменателя нет, поэтому дальше сократить нельзя. Даже если бы общий множитель нашёлся, ограничения из исходных знаменателей всё равно остались бы.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать или вычитать знаменатели вместе с числителями. Так делают, перенося правило сложения целых чисел на всю дробь, хотя знаменатель задаёт размер частей и при одинаковых знаменателях не меняется. Проверьте себя на примере: 1/5 + 2/5 = 3/5, а не 3/10. При разных знаменателях сначала приводите дроби к общему знаменателю.

Ошибка: выбрать общий знаменатель, в котором не хватает множителя. Обычно это происходит, когда знаменатели не раскладывают на множители и ориентируются только на их внешний вид. Проверьте, делится ли выбранное выражение без остатка на каждый исходный знаменатель. Если нет, значит, общий знаменатель подобран неверно.

Ошибка: умножить на дополнительный множитель только числитель. Тогда значение дроби изменится, поскольку основное свойство требует умножать на одно и то же ненулевое выражение и числитель, и знаменатель. После преобразования проверьте, что знаменатель стал общим и дробь осталась равной исходной. Например, 1/(x − 1) превращают в (x + 1)/((x − 1)(x + 1)), а не в (x + 1)/(x − 1).

Ошибка: после сокращения убрать ограничения, которые появились из исходных знаменателей. При сокращении множитель исчезает из записи, но исходное выражение при его нулевом значении всё равно не определено. Сверьте ограничения с ОДЗ, записанной до преобразований. В окончательном ответе оставьте все значения, запрещённые исходными знаменателями.

Связь с другими темами

Для сложения и вычитания дробей нужны основное свойство алгебраической дроби, разложение многочленов на множители и действия с многочленами. Эти умения помогают подобрать общий знаменатель и правильно преобразовать числитель. Освоить тему проще, если уверенно выполнять каждое из этих действий отдельно.

Преобразование дробей пригодится при упрощении рациональных выражений, а также при решении рациональных уравнений и неравенств. В таких задачах особенно важно учитывать ОДЗ: преобразованная запись не должна привести к ответу, запрещённому исходными знаменателями. Навык проверки ограничений поэтому работает вместе с вычислениями.

Правила опираются на сложение и вычитание обыкновенных дробей: общий знаменатель и действия с числителями используются и здесь. Позже те же преобразования помогут изучать рациональные функции, где переменная встречается в числителе или знаменателе. Понимание способа приведения дробей делает переход к таким функциям более понятным.

Что запомнить

• Перед действиями с дробями нужно определить ОДЗ.
• Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по числителям.
• При разных знаменателях сначала находят общий знаменатель.
• Каждую дробь домножают на свой дополнительный множитель.
• Знаменатель общего результата записывают один раз.
• После выполнения действий результат при возможности сокращают.
• Ограничения из исходных знаменателей сохраняют в окончательном ответе.