§ 3. Умножение и деление алгебраических дробей. Возведение алгебраической дроби в степень

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь вида A / B, где A и B — многочлены, а B ≠ 0. Многочлен — выражение из чисел и переменных, соединённых сложением, вычитанием и умножением. Значения переменных, при которых знаменатель становится нулём, исключают из области допустимых значений (ОДЗ). Это правило помогает не выполнять действие, которое математически не определено.

Умножение алгебраических дробей — действие, при котором перемножают числители между собой и знаменатели между собой. Перед умножением многочлены можно разложить на множители и сократить одинаковые множители сверху и снизу. Так вычисления часто становятся короче и проще. Сокращать можно именно множители, а не части суммы.

Деление алгебраических дробей заменяют умножением делимого на дробь, обратную делителю. Чтобы получить обратную дробь, меняют местами её числитель и знаменатель. Сам делитель должен быть отличен от нуля, а знаменатели обеих дробей — тоже не равны нулю. Эти условия нужны для того, чтобы исходное действие имело смысл.

Степень алгебраической дроби показывает, сколько раз дробь умножают саму на себя. При натуральной степени в эту степень возводят и числитель, и знаменатель: (A / B)ⁿ = Aⁿ / Bⁿ. Основание должно быть определено, поэтому его знаменатель не может равняться нулю. Правило удобно применять, когда дробь содержит многочлены.

Как это устроено

Правило умножения не меняется при переходе от числовых дробей к алгебраическим: в обеих дробях числитель показывает верхнюю часть, а знаменатель — нижнюю. Поэтому перемножают верхние части между собой и нижние между собой: (A / B) · (C / D) = AC / BD. Формула верна при тех значениях переменных, при которых исходные дроби определены. Следовательно, прежде чем вычислять, учитывают ограничения на знаменатели.

Упрощать произведение до перемножения удобно, потому что разложенный многочлен показывает, из каких множителей он состоит. Если один и тот же множитель есть и в числителе, и в знаменателе, он сокращается по основному свойству дроби. Например, общие множители можно убрать, не раскрывая скобки и не получая громоздких выражений. Но сокращать части суммы нельзя: для этого сначала нужно представить числитель и знаменатель как произведения.

Деление заменяют умножением на обратную дробь, потому что умножение и деление — обратные действия. Чтобы разделить на C / D, нужно умножить на D / C: так делитель превращается в множитель, а его числитель и знаменатель меняются местами. Делимое при этом не переворачивают. Если делитель равен нулю, обратной дроби для него нет, поэтому такие значения переменных запрещены.

Натуральная степень означает повторное умножение одинаковых дробей. Например, (A / B)³ = (A / B) · (A / B) · (A / B), поэтому в числителе получится A³, а в знаменателе — B³. Так возникает правило (A / B)ⁿ = Aⁿ / Bⁿ. Оно позволяет возвести дробь в степень, не раскрывая сначала её значение.

ОДЗ проверяют по исходному выражению, потому что преобразования не меняют того, при каких значениях оно было определено. Для умножения достаточно проверить исходные знаменатели, а при делении дополнительно выяснить, когда делитель равен нулю. Сокращённая дробь может выглядеть определённой при значении, которое запрещено в исходной записи. Поэтому ограничения сохраняют и после сокращения.

Правила действий с алгебраическими дробями

Сначала найдите запрещённые значения переменных по исходным знаменателям, а при делении проверьте ещё и сам делитель. Затем примените правило из нужной строки. Если в записи появились общие множители, сократите их и не забудьте сохранить исходные ограничения.

Разбор задач

Задача 1. Выполните умножение (6x² / 5y) · (10y² / 9x) и укажите ограничения на переменные. Сначала посмотрим, какие множители повторяются в числителях и знаменателях. Это позволит сократить дробь до перемножения оставшихся частей. Ограничения определяются по знаменателям исходной записи.

1. Запишем произведение одной дробью: (6x² · 10y²) / (5y · 9x).
2. Сократим общие числовые и буквенные множители: 6 и 9 делятся на 3, 10 и 5 — на 5, x² и x — на x, y² и y — на y.
3. Получим (2 · 2xy) / 3 = 4xy / 3. Из исходных знаменателей 5y и 9x следует, что x ≠ 0 и y ≠ 0.

Ответ: 4xy / 3, x ≠ 0, y ≠ 0. Запреты сохраняются, хотя переменные уже не стоят в знаменателе результата. Так мы не включаем значения, при которых исходные дроби не существовали.

Задача 2. Выполните деление (x² − 9) / (x + 2) : (x − 3) / (x + 2) и укажите ОДЗ. Здесь делитель сам может обратиться в ноль, поэтому нужно проверить не только знаменатели. Разложение разности квадратов поможет заметить общий множитель. После этого применим правило деления.

1. Знаменатели исходных дробей требуют x ≠ −2.
2. Разложим x² − 9 = (x − 3)(x + 3) и заменим деление умножением на обратную дробь: ((x − 3)(x + 3) / (x + 2)) · ((x + 2) / (x − 3)).
3. Делитель не должен равняться нулю, поэтому (x − 3) / (x + 2) ≠ 0 и x ≠ 3. Сократим множители и получим x + 3.

Ответ: x + 3, x ≠ −2, x ≠ 3. Значение x = 3 исключено, потому что обращает делитель в ноль. Это ограничение осталось, хотя множитель x − 3 сократился.

Задача 3. Упростите ((a² − 4) / (a² + 4a + 4))² · ((a + 2) / (a − 2)) и найдите допустимые значения a. Разложим многочлены до возведения в квадрат и перемножения: так станут видны общие множители. ОДЗ сначала выпишем по исходным знаменателям, а затем будем сохранять при сокращении.

1. Разложения: a² − 4 = (a − 2)(a + 2), а a² + 4a + 4 = (a + 2)². Из исходных знаменателей следует a ≠ −2 и a ≠ 2.
2. Возведём первую дробь в квадрат: ((a − 2)(a + 2) / (a + 2)²)² = ((a − 2) / (a + 2))².
3. Перемножим с (a + 2) / (a − 2) и сократим общие множители. Получим (a − 2) / (a + 2).

Ответ: (a − 2) / (a + 2), a ≠ −2 и a ≠ 2. Ограничение a ≠ −2 связано со знаменателем исходной дроби, а a ≠ 2 — со знаменателем второго множителя. После сокращения оба запрета всё равно действуют.

Типичные ошибки

Сокращают слагаемые, а не множители. Например, в дроби (x + 2) / x нельзя вычеркнуть x: числитель является суммой. Ошибка появляется, когда сокращение воспринимают как зачёркивание одинаковых букв. Для проверки разложите числитель и знаменатель на множители и сокращайте только одинаковые множители целиком.

При делении оставляют делитель без изменений. Тогда вместо деления получается другое действие, потому что обратное число делителя не учтено. Нужно сохранить делимое, а числитель и знаменатель делителя поменять местами и поставить знак умножения. Проверить себя можно, записав промежуточную строку с обратной дробью.

При возведении дроби в степень возводят только числитель. Это приводит к неверному значению, поскольку знаменатель тоже участвует в каждом повторном умножении дроби. Возводите в степень обе части: (A / B)ⁿ = Aⁿ / Bⁿ. Для проверки раскройте квадрат как произведение двух одинаковых дробей.

После сокращения забывают ОДЗ или не проверяют делитель. Сокращение может убрать из записи выражение, которое обращало исходный знаменатель или делитель в ноль. Такие значения всё равно остаются запрещёнными. Выпишите ограничения до преобразований и в конце сравните их с ответом.

Связь с другими темами

Для работы с алгебраическими дробями нужны основное свойство числовой дроби, правила умножения и деления дробей и умение раскладывать многочлены на множители. Особенно полезны разность квадратов и вынесение общего множителя за скобки: с их помощью находят множители для сокращения. Освоенные действия пригодятся при преобразовании рациональных выражений и решении рациональных уравнений. В уравнениях ограничения на переменные также нужно учитывать, чтобы не принять запрещённое значение за корень.

Что запомнить

• При умножении перемножают числители и знаменатели.
• Перед умножением полезно разложить многочлены на множители.
• Сокращать можно только общие множители.
• Деление заменяют умножением на обратную дробь.
• При возведении дроби в степень в эту степень возводят числитель и знаменатель.
• Знаменатели исходных дробей не должны обращаться в ноль.
• При делении делитель также должен быть отличен от нуля.