§ 4. Преобразование рациональных выражений

Определения и обозначения

Рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических действий и деления. Например, 3x − 5, (a + b)² и 7/(y − 2) являются рациональными выражениями. Это понятие объединяет разные записи, с которыми работают при упрощении и решении задач.

Дробно-рациональное выражение — рациональное выражение, в котором переменная может находиться в знаменателе. Примеры: 1/x и (x + 3)/(x² − 4). Такое выражение требует особого внимания к значениям переменной, потому что знаменатель не может быть равен нулю.

Область допустимых значений выражения — все значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Для дробей это означает, что каждый знаменатель должен быть отличен от нуля. ОДЗ нужно находить до преобразований, чтобы не включить случай, запрещённый исходной записью.

Тождественное преобразование рационального выражения — замена выражения равным ему на общей области допустимых значений. Например, (x² − 9)/(x − 3) можно заменить на x + 3 только при x ≠ 3. Такая оговорка сохраняет правильность исходного выражения.

Как это устроено

Преобразования рациональных выражений опираются на свойства сложения, умножения и деления, а также на правила действий с дробями. Эти свойства позволяют менять форму записи, не меняя значение выражения. Но равенство рассматривают только там, где исходная запись имеет смысл, поэтому ОДЗ нельзя отделять от преобразования.

Перед началом работы находят ограничения на переменные по всем исходным знаменателям. Если знаменатель равен нулю, деление невозможно, и выражение не определено. Записав запреты заранее, можно не потерять их после сокращения или другого упрощения.

Разложение многочлена на множители превращает сумму или разность в произведение. Например, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), и общий множитель становится заметен. Это помогает сокращать дроби и находить общий знаменатель, потому что действия выполняются с множителями, а не с отдельными слагаемыми.

Сокращение дроби основано на делении числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель. Поэтому сокращать можно только множитель, входящий в каждый из них целиком. Слагаемые вроде x + 2 и x нельзя сокращать друг с другом: они связаны сложением, а не умножением.

При сложении и вычитании дроби сначала приводят к общему знаменателю, чтобы части стали сравнимыми. Затем складывают или вычитают числители, а общий знаменатель оставляют без изменения. При умножении перемножают числители и знаменатели, а при делении заменяют деление умножением на обратную дробь; делитель при этом обязан быть ненулевым.

Основные преобразования рациональных выражений

Пользуйтесь таблицей как кратким алгоритмом выбора действия. Сначала определите ОДЗ, затем приведите выражения к виду, в котором видны множители. После вычислений ещё раз сравните полученные ограничения с исходной записью.

Разбор задач

Задача 1. Упростить выражение (x² − 9)/(x − 3) и указать допустимые значения x.

1. Исходный знаменатель не должен обращаться в ноль: x − 3 ≠ 0, значит, x ≠ 3.
2. Разложим числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. Сократим общий множитель x − 3. Получим x + 3, но найденное ограничение x ≠ 3 сохраним.

Ответ: x + 3, x ≠ 3.

Задача 2. Упростить выражение 2/(x − 1) + 3/(x + 1) и указать допустимые значения x.

1. Из исходных знаменателей получаем x ≠ 1 и x ≠ −1.
2. Общий знаменатель равен (x − 1)(x + 1). Домножим первую дробь на x + 1, а вторую — на x − 1.
3. Сложим числители: 2(x + 1) + 3(x − 1) = 2x + 2 + 3x − 3 = 5x − 1.

Ответ: (5x − 1)/(x² − 1), x ≠ 1 и x ≠ −1.

Задача 3. Упростить выражение ((x² − 4)/(x² + 3x + 2)) : ((x − 2)/(x + 1)) и указать допустимые значения x.

1. Исходные знаменатели требуют x² + 3x + 2 ≠ 0 и x + 1 ≠ 0, поэтому x ≠ −2 и x ≠ −1.
2. Разложим многочлены: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), а x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).
3. Заменим деление умножением на обратную дробь: ((x − 2)(x + 2))/((x + 1)(x + 2)) · (x + 1)/(x − 2). Делитель не должен быть нулём, поэтому x ≠ 2.
4. Сократим множители и получим 1. Ограничения сохраняются из исходного выражения.

Ответ: 1, x ≠ −2, x ≠ −1, x ≠ 2.

Типичные ошибки

Сокращение слагаемых. Ошибка возникает, когда ученик видит одинаковую букву в числителе и знаменателе и убирает её, не учитывая сложение. Проверьте себя: сначала разложите обе части на множители и сокращайте только целые общие множители.

Потеря ограничений. После сокращения запрещённый множитель может исчезнуть из знаменателя, и кажется, что запрет больше не нужен. Сверьте ОДЗ с исходными знаменателями: каждое найденное там значение остаётся исключённым.

Сложение знаменателей. При сложении дробей иногда получают сумму знаменателей вместо общего знаменателя. Запомните проверку: после приведения к общему знаменателю складываются только числители, а знаменатель остаётся общим.

Неверное деление на дробь. Можно забыть перевернуть делитель или не проверить его ненулевое значение. Запишите действие как умножение на обратную дробь и отдельно убедитесь, что исходный делитель не равен нулю.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь раскладывать многочлены на множители, находить общий знаменатель и выполнять действия с обыкновенными дробями. Эти навыки являются инструментами для каждого преобразования.

Рациональные выражения используются при решении рациональных уравнений и неравенств. Указание ОДЗ помогает не получить лишние корни и правильно проверить найденные значения.

Те же приёмы нужны при изучении дробно-рациональных функций. Их область определения находится по тем же ограничениям: знаменатель функции не должен быть равен нулю.

Что запомнить

• Сначала найди ограничения на переменные по исходным знаменателям.
• Сокращать можно только общие множители.
• При сложении и вычитании дробей нужен общий знаменатель.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Делитель не должен быть равен нулю.
• После преобразования укажи область допустимых значений исходного выражения.