8.4. Преобразование рациональных выражений

Определения и обозначения

Рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления. Переменная может находиться в знаменателе, например в выражении 1/x. Это определение помогает узнавать выражения, которые можно преобразовывать по правилам действий с дробями.

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются рациональными выражениями. Её знаменатель не должен быть равен нулю. Это условие нужно проверять, чтобы не выполнять деление на ноль.

Область допустимых значений, или ОДЗ, — значения переменных, при которых выражение имеет смысл. Для алгебраической дроби знаменатель должен отличаться от нуля. ОДЗ показывает, какие значения можно подставлять в выражение и при каких условиях верны преобразования.

Равносильные рациональные выражения принимают одинаковые значения при всех общих допустимых значениях переменных. Это понятие позволяет проверить, что преобразование не изменило значение выражения там, где оно определено. Общими допустимыми считаются значения, при которых имеют смысл оба выражения.

Как это устроено

До преобразований определяют, когда знаменатели обращаются в ноль, потому что делить на ноль нельзя. Например, у дроби с знаменателем x допустимы все значения, кроме x = 0. Если пропустить это условие, можно случайно включить в ответ значение, при котором исходного выражения не существует. Поэтому сначала находят ограничения, а затем выполняют действия.

Сокращение становится возможным, когда числитель и знаменатель разложены на множители. Например, общий множитель можно разделить и сверху, и снизу: при этом дробь не изменится, если множитель не равен нулю. Слагаемые так сокращать нельзя: в сумме общий множитель может отсутствовать, а удаление слагаемого меняет значение. Поэтому перед сокращением проверяют, что выражения именно перемножаются.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же ненулевое выражение, получится равная дробь: фактически дробь умножили на единицу. Это позволяет заменить знаменатель на более удобный, например общий для нескольких дробей. Множитель должен быть ненулевым на рассматриваемых допустимых значениях, иначе такое действие может быть недопустимым. Общий знаменатель обычно составляют из множителей всех знаменателей.

Для сложения и вычитания сначала приводят дроби к общему знаменателю, потому что складывать можно только части, выраженные в одинаковых долях. После этого выполняют действие с числителями, а знаменатель оставляют прежним. Затем результат можно разложить на множители и сократить, если появится общий множитель. Знаменатели при сложении и вычитании не складывают и не вычитают.

При умножении перемножают числители и отдельно знаменатели, после чего при необходимости упрощают результат. Деление на дробь заменяют умножением на обратную: числитель и знаменатель делителя меняют местами. Это правило работает, только если делитель не равен нулю, поэтому проверяют и его числитель. Ограничения всех исходных дробей также сохраняются.

Основные преобразования алгебраических дробей

Пользуйтесь таблицей как коротким планом: сначала выберите нужное действие, затем выполните его по правилу. Перед вычислениями и после них сверяйтесь с последним столбцом. Так проще заметить, если потерялось ограничение на переменную.

Разбор задач

Сократить дробь (x² − 9)/(x² + 3x)

Сначала проверим исходный знаменатель: x² + 3x может быть равен нулю при двух значениях. Затем разложим числитель и знаменатель на множители и поищем общий множитель. Сокращение упростит запись, но не отменит запреты, найденные по исходной дроби.

1. Разложим числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. Вынесем x за скобки в знаменателе: x² + 3x = x(x + 3).
3. Из исходного знаменателя получаем x ≠ 0 и x ≠ −3. Сокращаем общий множитель x + 3, который не равен нулю при допустимых значениях.
4. Записываем результат: (x − 3)/x.

Ответ: (x − 3)/x, при x ≠ 0 и x ≠ −3. Значение x = −3 остаётся запрещённым, хотя после сокращения множителя x + 3 в знаменателе уже нет: ограничение взято из исходного выражения.

Выполнить сложение 1/x + 1/(x + 1)

У дробей разные знаменатели, поэтому сначала приведём их к общему. Подходит произведение x(x + 1): оно содержит оба знаменателя. Ограничения определим по исходной записи, до сложения.

1. Из знаменателей получаем условия x ≠ 0 и x + 1 ≠ 0, то есть x ≠ −1.
2. Первую дробь домножим на x + 1, вторую — на x: 1/x = (x + 1)/[x(x + 1)], а 1/(x + 1) = x/[x(x + 1)].
3. Сложим числители, оставив общий знаменатель: (x + 1 + x)/[x(x + 1)] = (2x + 1)/[x(x + 1)].

Ответ: (2x + 1)/[x(x + 1)], при x ≠ 0 и x ≠ −1. Ограничения нужны и после сложения, поскольку они возникли в исходных дробях.

Упростить (x² − 1)/(x² + 2x + 1) : (x − 1)/(x + 1)

Перед делением проверим, что обе дроби определены и что делитель не равен нулю. Разложение на множители покажет, какие условия нужно учесть, и поможет сократить результат. Деление заменим умножением на дробь с переставленными числителем и знаменателем.

1. Разложим выражения: x² − 1 = (x − 1)(x + 1), x² + 2x + 1 = (x + 1)².
2. Исходные знаменатели требуют x ≠ −1. Кроме того, делитель (x − 1)/(x + 1) не должен быть нулём, поэтому x ≠ 1.
3. Заменим деление умножением на обратную дробь: [(x − 1)(x + 1)/(x + 1)²] · [(x + 1)/(x − 1)].
4. Сократим общие множители и получим 1.

Ответ: 1, при x ≠ −1 и x ≠ 1. Значение x = 1 запрещено, потому что исходный делитель при нём равен нулю.

Типичные ошибки

Нельзя сокращать одинаковые слагаемые в числителе и знаменателе. Например, в дроби (x + 2)/x нельзя убрать x: числитель — сумма, а не произведение общего множителя. Эту ошибку допускают, перенося правило сокращения множителей на отдельные части суммы. Проверка: разложите числитель на множители и убедитесь, что общий множитель действительно входит в оба выражения.

При сложении или вычитании дробей не складывают и не вычитают знаменатели. После приведения к общему знаменателю действие выполняют только с числителями, а знаменатель оставляют общим. Ошибка возникает, если применить правила для целых чисел к записи дроби целиком. Чтобы проверить себя, убедитесь, что в результате общий знаменатель записан один раз.

Иногда забывают ограничения или считают, что после сокращения запрещённые значения стали допустимыми. Например, если общий множитель сократился, исходная дробь всё равно не была определена при его нулевом значении. Ошибка появляется, когда ОДЗ находят только по упрощённому результату. Проверка: вернитесь к исходной записи и выпишите нули всех исходных знаменателей.

При делении на дробь можно забыть перевернуть делитель или не проверить, что он не равен нулю. Деление заменяют умножением на обратную дробь, а нулевой делитель недопустим. Ошибка часто связана с тем, что проверяют только знаменатели дробей. Для самопроверки поменяйте местами числитель и знаменатель именно у делителя и отдельно найдите условие, при котором делитель равен нулю.

Связь с другими темами

Для преобразования рациональных выражений нужны разложение многочленов на множители, свойства арифметических действий и формулы сокращённого умножения. Они помогают находить общие множители и общий знаменатель, а значит, упрощать вычисления. Если эти приёмы пока вызывают затруднения, полезно повторить их до работы с алгебраическими дробями.

Преобразования рациональных выражений пригодятся при решении рациональных уравнений и упрощении алгебраических дробей в следующих темах. Умение сохранять ограничения на переменные помогает не включать в решение значения, при которых выражение не имеет смысла. Сокращение и приведение к общему знаменателю также делают дальнейшие вычисления короче.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю.
• Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя.
• Общий множитель разрешается сокращать лишь при условии, что он не равен нулю.
• Чтобы сложить или вычесть дроби, сначала приводят их к общему знаменателю.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Ограничения на переменные определяют по исходному выражению и сохраняют после преобразований.