§ 6. Преобразование рациональных выражений

Определения и обозначения

Рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и целых неотрицательных степеней. Например, (x² − 1)/(x + 1) — рациональное выражение. Если переменная стоит в показателе степени, как в 2ˣ, выражение уже не относится к рациональным; это различие помогает понять, с каким видом выражений мы работаем.

Допустимые значения переменной — значения, при которых выражение определено. В дробях знаменатель не должен обращаться в нуль: например, для 1/(x − 2) нельзя брать x = 2. Поиск допустимых значений нужен, чтобы не выполнять действия с выражениями, которые при выбранной подстановке не имеют смысла.

Тождественно равные рациональные выражения принимают одинаковые значения при всех общих допустимых значениях переменных. Например, (x² − 1)/(x − 1) и x + 1 равны при x ≠ 1. Это позволяет заменять сложную запись более простой, не меняя значения выражения там, где обе записи определены.

Преобразование рационального выражения — замена исходной записи тождественно равной, например упрощённой или представленной в другой форме. Так, дробь можно разложить на множители, сократить или привести к общему знаменателю с другой дробью. Такие преобразования делают выражения удобными для вычислений и решения задач.

Как это устроено

Сначала находят допустимые значения переменной, потому что именно знаменатели исходного выражения задают ограничения. Если знаменатель равен нулю, дробь не определена, и никакое последующее упрощение не может вернуть ей значение. Поэтому найденные запреты сохраняют до конца решения, даже если после сокращения соответствующий знаменатель исчез. Для составного выражения проверяют каждый знаменатель, который был в исходной записи.

Основное свойство дроби разрешает разделить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель: значение дроби от этого не меняется. В алгебре множитель может зависеть от переменной, поэтому нужно убедиться, что он не равен нулю на рассматриваемых допустимых значениях. Например, общий множитель x − 1 можно сократить только при x ≠ 1. Это условие согласуется с ограничением, которое уже задаёт исходный знаменатель.

Чтобы увидеть общие множители, многочлены часто раскладывают на множители — представляют в виде произведения. Например, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), поскольку это разность квадратов. После разложения легко обнаружить множитель, который есть и в числителе, и в знаменателе. Слагаемые сокращать нельзя: для сокращения требуется общий множитель всего числителя и всего знаменателя.

При сложении и вычитании дробей сначала получают общий знаменатель, потому что складывать или вычитать можно доли одинакового размера. Каждую дробь домножают на такое выражение, чтобы её знаменатель стал общим; тогда числители складывают или вычитают, а знаменатель оставляют. Если получившийся числитель можно разложить на множители, это помогает упростить ответ. При этом проверяют ограничения, заданные знаменателями до преобразования.

При умножении рациональных дробей перемножают числители между собой и знаменатели между собой; перед этим удобно разложить многочлены на множители и сократить общие множители. При делении делитель должен быть ненулевым, иначе действие не определено. Поэтому деление заменяют умножением на обратную дробь, то есть дробь с поменянными местами числителем и знаменателем. В результате учитывают и ненулевые знаменатели, и условие, что исходный делитель не равен нулю.

Правила преобразования рациональных выражений

Пользуйся таблицей как порядком проверки: сначала установи допустимые значения, затем выбери правило для нужного действия. После выполнения действия можно разложить результат на множители и упростить. В конце сравни ограничения с теми, которые были в исходном выражении.

Разбор задач

Упростим выражение (x² − 9)/(x − 3) и укажем допустимые значения x. Сначала проверяем исходный знаменатель: он не должен быть равен нулю. Затем ищем способ разложить числитель так, чтобы стало видно, есть ли общий множитель для сокращения.

1. Из условия x − 3 ≠ 0 получаем x ≠ 3.
2. Разложим числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. Сократим общий множитель x − 3. Получим x + 3, но условие x ≠ 3 сохраняем.

Ответ: x + 3, при x ≠ 3. Подстановка x = 3 в сокращённую запись дала бы число, но исходная дробь при этом значении не определена.

Выполним сложение 1/x + 2/(x + 1) и найдём допустимые значения. Нужно привести обе дроби к общему знаменателю, а ограничения определить по знаменателям именно исходной записи. Так мы не потеряем значения, при которых сложение было бы невозможно.

1. Из x ≠ 0 и x + 1 ≠ 0 получаем x ≠ 0 и x ≠ −1.
2. Общий знаменатель — x(x + 1). Первую дробь домножаем на x + 1, вторую — на x.
3. Складываем числители: (x + 1) + 2x = 3x + 1. Получаем (3x + 1)/(x(x + 1)).

Ответ: (3x + 1)/(x(x + 1)), при x ≠ 0 и x ≠ −1. Знаменатель общего выражения показывает те же запреты, что и два исходных знаменателя.

Упростим ((x² − 4)/(x² + 4x + 4)) : ((x − 2)/(x + 2)). Здесь недостаточно проверить только знаменатели: делитель тоже не должен быть равен нулю. После этого заменим деление умножением на обратную дробь и поищем общие множители.

1. Разложим многочлены: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), а x² + 4x + 4 = (x + 2)².
2. Исходные знаменатели требуют x ≠ −2. Делитель должен быть определён и не равен нулю: дробь (x − 2)/(x + 2) равна нулю при x = 2, поэтому x ≠ 2.
3. Заменим деление умножением на обратную дробь: ((x − 2)(x + 2))/(x + 2)² · (x + 2)/(x − 2).
4. Сократим общие множители и получим 1.

Ответ: 1, при x ≠ −2 и x ≠ 2. Значение x = 2 запрещено, потому что исходное действие было делением на нулевую дробь, хотя итоговая запись стала равна единице.

Типичные ошибки

Ошибка: сокращать одинаковые слагаемые, например x в дроби (x + 1)/x. Так поступают, потому что видят одну и ту же букву сверху и снизу, но числитель здесь является суммой, а не произведением с множителем x. Сократить можно только общий множитель всего числителя и знаменателя. Для проверки разложи выражения на множители и убедись, что сокращаемый множитель действительно общий.

После сокращения иногда забывают ограничения исходной дроби. Причина в том, что в новой записи запрещённый знаменатель может исчезнуть, и кажется, будто ограничений больше нет. Но исходное выражение всё равно не определено при значениях, обращавших этот знаменатель в нуль. Проверяй себя, подставляя найденное запрещённое значение в исходную запись, а не только в упрощённую.

При сложении дробей нельзя складывать знаменатели или домножать только один числитель. Ошибка появляется, когда правила сложения обычных чисел переносят на дроби без учёта размера долей. Сначала приведи дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой на одно и то же выражение. Проверка: у дробей перед сложением знаменатели должны совпадать.

При делении на дробь иногда не переворачивают делитель или забывают проверить, что он не равен нулю. Чтобы избежать ошибки, запиши деление как умножение на обратную дробь и отдельно найди ограничения исходного выражения. Нулевой делитель использовать нельзя, даже если после упрощения он исчезает из записи. Проверь, что обратной стала именно дробь-делитель, а не первая дробь.

Связь с другими темами

Для преобразований нужны навыки разложения многочленов на множители и применения формул сокращённого умножения, например разности квадратов. Также необходимо уметь решать простые уравнения со знаменателями, чтобы находить значения, при которых знаменатель обращается в нуль. Эти умения помогают выбрать способ упрощения и правильно определить допустимые значения.

Преобразование рациональных выражений используется при решении рациональных уравнений и неравенств: упрощённые записи помогают сравнивать выражения и находить решения. В старших классах эти же приёмы понадобятся при работе с алгебраическими дробями. Сохранение ограничений важно во всех таких задачах, потому что преобразованная запись может выглядеть определённой там, где исходная не имела смысла.

Что запомнить

• Сначала найди допустимые значения переменной по исходному выражению.
• Сокращать можно только общие множители.
• Для сложения и вычитания дробей нужен общий знаменатель.
• При делении на дробь умножай на обратную.
• Делитель должен быть отличен от нуля.
• После упрощения сохраняй ограничения исходного выражения.