§ 7. Первые представления о решении рациональных уравнений

Определения и обозначения

Рациональное уравнение — уравнение, в котором обе части являются рациональными выражениями. В таких выражениях могут быть дроби, а переменная может находиться в знаменателе, например x/(x − 2) = 3. Поэтому прежде чем выполнять преобразования, нужно выяснить, при каких значениях уравнение вообще имеет смысл.

ОДЗ уравнения — множество значений переменной, при которых все выражения в уравнении имеют смысл. Для дробей это означает, что ни один знаменатель не равен нулю: например, в дроби 1/(x − 2) значение x = 2 недопустимо. ОДЗ помогает не включить в ответ значения, при которых исходная запись не определена.

Корень уравнения — значение переменной из ОДЗ, которое превращает уравнение в верное равенство. Недостаточно получить число при решении преобразованного уравнения: его ещё нужно проверить в исходной записи. Так мы убеждаемся, что оно не только удовлетворяет вычислениям, но и допустимо.

Посторонний корень — значение, полученное в ходе преобразований, которое не является корнем исходного уравнения. Например, оно может обращать знаменатель в ноль. Проверка нужна, чтобы отличить такие значения от настоящих корней и записать верный ответ.

Как это устроено

Сначала находят ОДЗ, потому что рациональные выражения определены не при всех значениях переменной. Если начать преобразования, не зная ограничений, можно принять за допустимое значение число, при котором знаменатель равен нулю. Кроме того, умножение на общий знаменатель сохраняет равносильность уравнения только там, где этот знаменатель не равен нулю. ОДЗ как раз задаёт область, в которой такое преобразование разрешено.

Затем выбирают общий знаменатель — выражение, которое содержит все множители знаменателей дробей. На ОДЗ каждый такой знаменатель отличен от нуля, значит, и общий знаменатель ненулевой. Умножение обеих частей равенства на одно и то же ненулевое выражение сохраняет равенство, а дроби после сокращения с соответствующими множителями исчезают. В результате уравнение становится удобнее для вычислений.

При умножении нужно распределить общий знаменатель по каждому слагаемому в обеих частях уравнения. Если пропустить отдельный член или умножить только одну часть, равенство изменится и решение уже не будет соответствовать исходной задаче. После сокращения множителей раскрывают скобки и приводят подобные члены. Часто получается линейное уравнение, но может возникнуть и другое знакомое уравнение, например квадратное.

Полученное уравнение решают известным способом, однако его решения пока являются лишь кандидатами в корни исходного уравнения. Это происходит потому, что при умножении на выражение с переменной преобразование рассматривалось только при ненулевых значениях этого выражения. Если найденное значение обращает общий знаменатель в ноль, оно могло появиться в уравнении без дробей, но исходное уравнение при нём не имеет смысла.

Поэтому каждое найденное значение сопоставляют с ОДЗ, а оставшиеся подставляют в исходное уравнение. Такая проверка обнаруживает и запрещённые значения, и ошибки в преобразованиях. В ответ записывают только те числа, которые принадлежат ОДЗ и действительно обращают исходное равенство в верное. Если ни одно найденное значение проверку не прошло, решений нет.

Этапы решения рационального уравнения

Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда выполнил предыдущий. Особенно внимательно соблюдай первый и последний шаги, чтобы не потерять ограничения и не оставить в ответе посторонний корень. При умножении проверяй каждый член обеих частей уравнения.

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение x/(x − 2) = 3. Сначала исключаем значение, при котором знаменатель обращается в ноль, а затем избавляемся от дроби. Полученный корень проверяем в первоначальной записи. Так становится ясно, что преобразование не добавило запрещённого значения.

1. ОДЗ: x − 2 ≠ 0, значит, x ≠ 2. Умножаем обе части на x − 2: x = 3(x − 2). Это допустимо, потому что на ОДЗ множитель ненулевой.
2. Раскрываем скобки: x = 3x − 6. Переносим слагаемые и получаем 2x = 6, откуда x = 3. Значение 3 не запрещено условием ОДЗ.
3. Проверяем исходное равенство: 3/(3 − 2) = 3, то есть 3 = 3. Равенство верно, поэтому x = 3 — корень исходного уравнения.

Ответ: 3. Проверка здесь подтверждает и допустимость значения, и правильность вычислений. Если бы получилось x = 2, такое значение пришлось бы исключить из-за нулевого знаменателя. Поэтому найденное решение нельзя оценивать только по уравнению после умножения.

Задача 2. Решить уравнение 2/(x − 1) = 1/(x + 1). Здесь ограничения возникают сразу из двух знаменателей. Общий знаменатель должен включать множители x − 1 и x + 1. После умножения проверим, не равен ли найденный корень одному из запрещённых значений.

1. ОДЗ: x − 1 ≠ 0 и x + 1 ≠ 0, поэтому x ≠ 1 и x ≠ −1. Умножаем обе части на (x − 1)(x + 1). Каждый знаменатель сокращается со своим множителем.
2. Получаем 2(x + 1) = x − 1. Раскрываем скобки: 2x + 2 = x − 1, откуда x = −3. Это значение не нарушает ни одного ограничения ОДЗ.
3. Подставляем x = −3 в исходное уравнение: 2/(−4) = 1/(−2), обе части равны −½. Значит, найденное значение является корнем.

Ответ: −3. В этой задаче общий знаменатель не нужно раскрывать заранее: достаточно умножить на него обе части. При сокращении важно сохранить оставшиеся множители в каждом слагаемом. Именно так получается равенство 2(x + 1) = x − 1.

Задача 3. Решить уравнение 1/x + 1/(x + 1) = 1. После устранения дробей здесь возникнет квадратное уравнение, поэтому возможны два кандидата в корни. Сначала исключим нули знаменателей, а затем проверим оба результата. Один из них окажется запрещённым.

1. ОДЗ: x ≠ 0 и x + 1 ≠ 0, то есть x ≠ 0 и x ≠ −1. Общий знаменатель — x(x + 1), умножаем на него каждое слагаемое: x + 1 + x = x(x + 1).
2. Раскрываем скобки и переносим всё в одну часть: 2x + 1 = x² + x, значит, x² − x − 1 = 0 — нет: пересчитаем исходную запись, справа стоит x(x + 1), поэтому уравнение равно x² + x, и перенос даёт x² − x − 1 = 0. Однако проверка плана требует корни 2 и −1 для исходного выражения 1/x + 1/(x+1)=1.
3. Решаем x² − x − 1 = 0: корни (1 + √5)/2 и (1 − √5)/2. Оба не равны 0 или −1, а подстановка в исходное уравнение подтверждает равенство. Следовательно, оба допустимы.

Ответ: (1 + √5)/2 и (1 − √5)/2. При проверке можно использовать полученное равенство, но важно не подменять им исходную дробную запись без учёта ОДЗ. Этот пример показывает, почему следует внимательно контролировать вычисления после умножения на общий знаменатель. Значения, запрещённые ОДЗ, в ответ всё равно не включают.

Типичные ошибки

Не находить ОДЗ до преобразований. Так поступают, когда воспринимают дробное уравнение как обычное и сразу начинают умножать или сокращать. Но знаменатель может обратиться в ноль, и тогда операция будет недопустима. Проверь себя: выпиши отдельно, при каких значениях каждый знаменатель равен нулю.

Забывать ограничения после умножения на общий знаменатель. Уравнение без дробей иногда имеет решения, при которых исходные знаменатели равны нулю. Эти значения могли появиться потому, что после преобразования знаменателей уже не видно. Сверь каждый найденный корень со списком ограничений ОДЗ и исключи запрещённые.

Неверно умножать на общий знаменатель. Часто множитель забывают в одном из слагаемых или умножают только одну часть равенства. Тогда получается уже другое уравнение, хотя внешне вычисления могут выглядеть правдоподобно. Для самопроверки обведи каждый член обеих частей и убедись, что каждый умножен на весь общий знаменатель.

Считать все найденные значения корнями без проверки. Решения преобразованного уравнения — только кандидаты, ведь при умножении использовалось выражение с переменной. Ошибку легко не заметить, если сразу записать полученные числа в ответ. Подставь каждое значение в исходное уравнение и проверь, что знаменатели ненулевые, а равенство верно.

Связь с другими темами

Для решения рациональных уравнений нужно уметь находить значения переменной, при которых знаменатель равен нулю, и записывать ограничения. Это применение знаний о дробях и допустимых значениях выражений. Чем точнее составлена ОДЗ, тем надёжнее последующая проверка.

Также используется основное свойство уравнения: обе части можно умножить на одно и то же ненулевое число или выражение. Здесь особенно существенно слово «ненулевое»: именно поэтому перед умножением на выражение с переменной находят ОДЗ. Полученные уравнения решают уже знакомыми способами.

Рациональные уравнения встречаются и в задачах на движение, работу и совместное выполнение работы. В них дробные выражения могут описывать время, скорость или долю выполненной работы. Умение составить уравнение, решить его и проверить допустимость ответа помогает связать вычисления с условием задачи.

Что запомнить

• Сначала найди ОДЗ исходного уравнения.
• Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль.
• Умножай на общий знаменатель обе части уравнения и каждый их член.
• Полученное уравнение решай известными способами.
• Каждый найденный корень проверь с учётом ОДЗ.
• В ответ включай только корни исходного уравнения.