§ 8. Степень с отрицательным целым показателем

Определения и обозначения

Степенью с отрицательным показателем называют выражение a⁻ⁿ, где a ≠ 0, а n — натуральное число. По определению a⁻ⁿ = 1⁄aⁿ. Это нужно, чтобы обозначать обратные величины положительных степеней коротко и применять к ним общие правила действий со степенями.

Отрицательный целый показатель — это показатель вида −n, где n является натуральным числом. Он указывает, что нужно взять обратную величину степени с показателем n: вместо aⁿ получить 1⁄aⁿ. Знак «минус» относится к показателю, а не означает, что всё значение степени обязательно будет отрицательным.

Обратным числом к a при a ≠ 0 называется число 1⁄a. При умножении числа и его обратного получается единица: a · 1⁄a = 1. Это понятие нужно для понимания отрицательной степени, ведь a⁻ⁿ является обратным числом к aⁿ.

Как это устроено

Определение отрицательной степени согласуется с правилом деления степеней. Если разделить aⁿ на само себя, получим aⁿ⁄aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰ = 1 при a ≠ 0. Значит, чтобы сохранить запись aⁿ⁄aⁿ в виде произведения степеней, можно представить её как aⁿ · a⁻ⁿ, поэтому a⁻ⁿ и должно быть равно 1⁄aⁿ.

Нулевое основание запрещено не случайно. При попытке вычислить 0⁻ⁿ пришлось бы использовать дробь 1⁄0ⁿ, а деление на ноль не имеет смысла. Поэтому перед применением формулы всегда проверяют условие a ≠ 0.

Чтобы вычислить отрицательную степень, сначала заменяют её дробью с единицей в числителе. В знаменателе записывают ту же букву с положительным показателем, а затем считают эту обычную степень. Например, 3⁻² = 1⁄3² = 1⁄9, поэтому отрицательная степень может иметь положительное значение.

Правила действий сохраняются, потому что отрицательные показатели основаны на тех же свойствах степеней и обратных чисел. При умножении показатели складывают, а при делении вычитают: x⁻² · x⁵ = x³ и x⁻²⁄x³ = x⁻⁵. Если итоговый показатель отрицательный, выражение можно переписать дробью, перенеся соответствующую степень через дробную черту.

Отрицательный показатель: определение и действия со степенями

Сначала определите, какое действие выполняется и одинаковы ли основания. Затем примените нужное правило к показателям, не забывая о порядке вычитания при делении. Если в результате появился отрицательный показатель, перенесите степень через дробную черту и запишите ответ с положительными показателями.

Разбор задач

Задача 1. Представьте 2⁻³ в виде дроби и вычислите

Основание 2 ненулевое, значит определение отрицательной степени применимо. Показатель −3 превращает степень 2³ в обратную величину. После этого остаётся вычислить обычную степень в знаменателе.

1. По определению заменяем отрицательную степень: 2⁻³ = 1⁄2³.
2. Вычисляем положительную степень: 2³ = 8.
3. Подставляем результат в дробь: 1⁄2³ = 1⁄8.

Ответ: 2⁻³ = 1⁄8.

Задача 2. Упростите выражение x⁻⁴ · x⁷ при x ≠ 0

В произведении основания одинаковые, поэтому показатели нужно сложить. Сначала получим разность между положительным и отрицательным показателями. Результат уже будет иметь положительный показатель, поэтому дополнительное преобразование не потребуется.

1. Применяем правило умножения степеней: x⁻⁴ · x⁷ = x⁻⁴⁺⁷.
2. Складываем показатели: −4 + 7 = 3.
3. Записываем упрощённое выражение: x³.

Ответ: x³.

Задача 3. Упростите (a⁻²b³)⁄(a⁴b⁻¹)

В числителе и знаменателе есть степени с одинаковыми основаниями, поэтому показатели вычитаются отдельно для a и для b. Для a получаем показатель числителя минус показатель знаменателя, и так же поступаем с b. Затем отрицательную степень b переписываем в знаменатель.

1. Для a: a⁻²⁄a⁴ = a⁻²⁻⁴ = a⁻⁶.
2. Для b: b³⁄b⁻¹ = b³⁻⁽⁻¹⁾ = b⁴.
3. Получаем a⁻⁶b⁴ и переносим a⁻⁶ в знаменатель: b⁴⁄a⁶.

Ответ: b⁴⁄a⁶, где a ≠ 0 и b ≠ 0.

Типичные ошибки

1. Записывают a⁻ⁿ как −aⁿ. Так путают отрицательный показатель с минусом перед числом. Проверьте себя заменой по определению: правильная запись содержит дробь 1⁄aⁿ.

2. Применяют правило при a = 0. Забывают, что отрицательная степень требует обращения числа, а обратного к нулю не существует. Перед вычислением найдите основание и убедитесь, что оно не равно нулю.

3. Неверно вычитают показатели при делении. Для aᵐ⁄aⁿ показатель равен именно m − n, потому что показатель числителя идёт первым. Полезно мысленно подписать: «верхний минус нижний».

4. Переносят степень через дробную черту без смены знака. При переходе из числителя в знаменатель отрицательный показатель становится положительным, и наоборот. Проверьте результат обратным переносом: повторное перемещение должно вернуть исходную запись.

Связь с другими темами

До изучения отрицательных показателей нужно знать степень с натуральным показателем, а также правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием. Нужна и нулевая степень ненулевого числа: a⁰ = 1. Эти свойства объясняют, почему новая формула не противоречит уже известным правилам.

Отрицательные показатели помогают преобразовывать дроби и алгебраические выражения, делая запись компактнее. Позже они пригодятся при изучении степеней с дробными показателями, где нужно будет уверенно обращаться с показателями и обратными величинами.

Что запомнить

• Для a ≠ 0: a⁻ⁿ = 1⁄aⁿ.
• Отрицательный показатель не означает отрицательное значение степени.
• Основание отрицательной степени не может равняться нулю.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают.
• Отрицательный показатель можно заменить положительным, перенеся степень через дробную черту.