"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Степень с отрицательным целым показателем — способ записать обратное число к положительной степени: a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. Например, 2⁻³ = 1/8, а не −8: минус относится к показателю, а не к значению степени. Такая запись помогает короче преобразовывать дроби и выражения с буквами. Для вычислений нужны свойства степеней, но следует проверять, что основание, стоящее в знаменателе, не равно нулю.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрицательный целый показатель — целое число меньше нуля, которое можно записать как −n, где n — натуральное число. Например, в записи 5⁻³ показатель равен −3. Это обозначение позволяет продолжить правила степеней на случаи, когда при делении степеней показатель получается отрицательным.
Для a ≠ 0 и натурального n степень с отрицательным показателем определяют равенством a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Так, 3⁻² = 1/3² = 1/9. Благодаря этому отрицательные показатели помогают записывать дроби в более коротком виде и применять к ним общие правила степеней.
Число, обратное ненулевому a, — это 1/a: произведение этих чисел равно единице, поскольку a · 1/a = 1. Поэтому отрицательная степень связана с обратным числом: a⁻¹ = 1/a, а a⁻ⁿ — обратное число к aⁿ. Переход к обратному числу, а не смена знака, объясняет смысл минуса в показателе.
Основание степени с отрицательным показателем не может быть равно нулю. Если подставить ноль, определение потребует вычислить 1/0ⁿ, а деление на ноль невозможно. Поэтому запись 0⁻ⁿ не имеет значения.
Рассмотрим правило деления степеней с одинаковым основанием: aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Если m = 0 и n — натуральное число, получится a⁰/aⁿ = a⁻ⁿ. При a ≠ 0 имеем a⁰ = 1, поэтому слева стоит 1/aⁿ, откуда и следует определение a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Так отрицательная степень сохраняет привычное правило вычитания показателей.
Можно проследить, как меняются степени одного основания: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4. При уменьшении показателя на единицу значение каждый раз делится на основание. После единицы получаются дроби, то есть обратные числа к положительным степеням: 2⁻² — это 1/2². Такой ряд помогает понять, почему показатель становится отрицательным, а значение степени не обязано быть отрицательным.
Чтобы вычислить отрицательную степень числа, запиши единицу в числителе, а положительную степень основания — в знаменателе: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Для дроби получаем (a/b)⁻ⁿ = 1/(a/b)ⁿ = (b/a)ⁿ, если a и b ненулевые. Дробь переворачивается потому, что берётся обратное число к её положительной степени. Например, (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
Правила произведения, частного и степени степени остаются такими же, как для целых показателей: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ и (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Причина в том, что отрицательный показатель уже заменяется обратной положительной степенью, а эти равенства согласуются с определением. При делении знаменатель должен быть ненулевым; если в записи есть отрицательные показатели, их основания также не могут быть нулём. Поэтому перед преобразованием нужно проверить ограничения на основания.
Выражение 0⁻ⁿ не определено, потому что по определению оно превратилось бы в 1/0ⁿ. При натуральном n число 0ⁿ равно нулю, а деление на ноль невозможно. Значит, формулу отрицательной степени можно применять только к ненулевому основанию.
Таблица собирает определение и правила, которые пригодятся при упрощении выражений. В каждой строке сначала найди нужный случай, затем проверь условия в последнем столбце. Если условие о ненулевом основании не выполнено, применять запись нельзя.
| Случай | Запись | Условия |
|---|---|---|
| Определение отрицательной степени | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | a ≠ 0; n — натуральное число |
| Отрицательная степень дроби | (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ | a ≠ 0, b ≠ 0; n — натуральное число |
| Произведение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Основание должно быть определено; при отрицательных показателях a ≠ 0 |
| Частное степеней с одинаковым основанием | aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0; знаменатель не равен нулю |
| Степень степени | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Выражение определено; при отрицательных показателях a ≠ 0 |
Задача 1. Вычислите 2⁻³. Отрицательный показатель заменяем обратной положительной степенью. Затем вычисляем обычную степень и делим единицу на полученное число.
Ответ: 1/8. Результат положительный: минус в показателе не означает, что перед числом нужно поставить знак минус. Проверить вычисление можно, умножив 1/8 на 2³: получится единица, значит, эти числа взаимно обратны.
Задача 2. Упростите выражение (3/5)⁻² · 5⁻¹. Сначала заменим отрицательные степени обратными положительными, чтобы увидеть общие основания. После этого можно применить правило умножения степеней с одинаковым основанием.
Ответ: 5/9. Можно было сначала записать 5⁻¹ как дробь, а затем сократить множители 25 и 5. Основания исходных отрицательных степеней ненулевые, поэтому переход к обратным числам допустим.
Задача 3. Упростите выражение (x⁻²y³)/(x⁻⁵y⁻¹) и укажите допустимые значения переменных. В частном степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются. Но прежде чем преобразовывать запись, нужно определить, при каких значениях знаменатель исходной дроби не равен нулю.
Ответ: x³y⁴ при x ≠ 0 и y ≠ 0. Условия взяты из исходного выражения, а не только из его упрощённой записи. Если подставить ноль в x или y в исходную дробь, отрицательные степени или знаменатель не будут определены.
Ошибка: считать, что a⁻ⁿ = −aⁿ. Её допускают, потому что минус в показателе принимают за знак самого числа, хотя он обозначает обратную степень. Проверка: замени выражение по определению; например, 2⁻² = 1/4, а не −4.
Ошибка: записывать 0⁻ⁿ. Такая запись кажется похожей на другие степени, но определение требует деления на 0ⁿ. Проверка проста: сначала замени отрицательный показатель на дробь; если в знаменателе получается ноль, исходное выражение не определено.
Ошибка: переворачивать основание, но оставлять показатель отрицательным, или менять показатель, не переворачивая дробь. Так теряется смысл перехода к обратному числу. Проверяй себя равенством (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ: при переходе дробь переворачивается и показатель становится положительным.
Ошибка: применять свойства степеней, не проверив ненулевые основания. Например, формула частного не делает выражение с нулём в знаменателе допустимым. Перед преобразованием выпиши ограничения из исходной записи и убедись, что каждое основание отрицательной степени отлично от нуля.
Для понимания отрицательных показателей нужны определение степени с натуральным показателем и свойства степеней, особенно правило деления степеней с одинаковым основанием. Новая запись помогает преобразовывать алгебраические дроби и записывать числа в стандартном виде: отрицательная степень позволяет компактно обозначить обратную положительную. Позже тот же смысл пригодится при изучении степеней с рациональными показателями и преобразовании более сложных степенных выражений.
Почему отрицательная степень не обязательно даёт отрицательное число?
Минус в показателе означает, что нужно взять обратное число к положительной степени, а не поставить минус перед результатом. Например, 2⁻² = 1/2² = 1/4.
Почему основание степени с отрицательным показателем не может быть нулём?
По определению 0⁻ⁿ пришлось бы заменить на 1/0ⁿ. Поскольку делить на ноль нельзя, выражение 0⁻ⁿ не определено.
Как вычислить отрицательную степень дроби?
Нужно поменять местами числитель и знаменатель, а показатель сделать положительным: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Это возможно, если a и b не равны нулю.
Нужно ли при отрицательном показателе менять знак числа?
Нет, менять нужно не знак числа, а переходить к обратной степени. Например, (−2)⁻² = 1/(−2)² = 1/4.
Можно ли применять свойства степеней с отрицательными показателями к буквенным выражениям?
Да, если соблюдены условия: в частности, основания, которые оказываются в знаменателе, должны быть ненулевыми. Например, x⁻²/x⁻⁵ = x³ при x ≠ 0.
§ 6. Степень с отрицательным целым показателем
