"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П. (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Рациональные числа — это числа, которые можно записать дробью с целыми числителем и знаменателем, причём знаменатель не равен нулю. К ним относятся обыкновенные дроби, целые числа и десятичные дроби. Их десятичная запись бывает конечной или бесконечной периодической. По знаменателю несократимой дроби можно заранее определить, какой вид записи получится, а деление помогает увидеть повторяющийся период.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Это значит, что у числа есть запись через деление целых чисел. Определение объединяет в одно множество обыкновенные дроби и целые числа.
Конечная десятичная дробь — десятичная запись, в которой после запятой стоит конечное число цифр; её можно представить обыкновенной дробью со знаменателем вида 10ⁿ. Например, 0,35 = 35/100. Такое представление помогает переводить десятичную запись в обыкновенную дробь.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная запись, в которой одна и та же группа цифр повторяется начиная с некоторого места. Например, в записи 0,8(3) после цифры 8 бесконечно повторяется цифра 3. Это обозначение позволяет записывать бесконечные десятичные дроби кратко.
Период десятичной дроби — повторяющаяся группа цифр в бесконечной периодической записи; её обозначают, записывая в скобках. В числе 0,46(428571) период равен 428571. Скобки показывают, какую именно группу нужно повторять без конца.
В дроби m/n числитель m показывает, сколько частей рассматривается, а ненулевой знаменатель n — на сколько равных частей разделено целое. Деление на ноль невозможно, поэтому условие n ≠ 0 обязательно. Целые числа тоже входят в множество рациональных: например, 6 = 6/1, а −3 = −3/1. Значит, дробная запись объединяет целые числа с дробями.
Знаменатели 10, 100 и 1000 — это степени числа 10: 10¹, 10² и 10³. Поэтому дроби с такими знаменателями записываются конечными десятичными дробями: 7/10 = 0,7, 35/100 = 0,35, 8/1000 = 0,008. Числитель задаёт цифры дробной части, а число нулей в знаменателе определяет, сколько знаков нужно оставить после запятой. Если нулей в начале дробной части не хватает, их дописывают.
Чтобы понять, закончится ли десятичная запись, сначала сократи дробь, а затем разложи знаменатель на простые множители. Конечная запись возможна, если знаменатель состоит только из двоек и пятёрок: домножив его на подходящие множители, можно получить степень 10, например 2 · 5 = 10. Если в знаменателе есть другой простой множитель, получить степень 10 таким способом нельзя, и запись не закончится. Так, 3/40 имеет конечную запись, потому что 40 = 2³ · 5, а 1/6 — нет, поскольку 6 = 2 · 3.
При делении дроби в столбик после каждого шага остаётся остаток, меньший знаменателя. Возможных остатков конечное число: для знаменателя 7 это 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Если остаток равен нулю, деление заканчивается; если нет, при бесконечном делении какой-то ненулевой остаток рано или поздно повторится. После одинакового остатка шаги деления повторяются, поэтому повторяются и цифры частного.
Если конечную десятичную дробь продолжить нулями, например 0,5 = 0,5000…, получится бесконечная запись с повторением нуля. Поэтому конечную запись условно считают периодической с периодом 0. В других дробях период может начинаться не сразу после запятой: в 0,1(6) сначала стоит непериодическая цифра 1, а затем повторяется 6. Такая запись называется смешанной периодической.
| Вид записи | Пример | Как устроена запись | Условие для несократимой дроби |
|---|---|---|---|
| Конечная десятичная дробь | 7/20 = 0,35 | После запятой стоит конечное число цифр. | Знаменатель имеет вид 2ᵃ · 5ᵇ. |
| Бесконечная чисто периодическая дробь | 1/3 = 0,(3) | Период начинается сразу после запятой. | Знаменатель не содержит множителей 2 и 5. |
| Бесконечная смешанная периодическая дробь | 1/6 = 0,1(6) | Перед периодом есть неповторяющаяся часть. | Есть множители 2 или 5 и хотя бы один другой простой множитель. |
Чтобы воспользоваться таблицей, сначала сократи дробь, а потом разложи знаменатель на простые множители. Если остались только 2 и 5, запись конечная; если есть другие множители — бесконечная периодическая. По примеру можно также увидеть, начинается ли период сразу или после непериодической части.
Знаменатель 20 можно превратить в 100 умножением на 5, поэтому удобно получить дробь со знаменателем 10². Одновременно проверим множители знаменателя: это покажет, почему запись конечна. Действуем последовательно.
Ответ: 7/20 = 0,35; десятичная запись конечная.
Знаменатель 6 содержит множитель 3, поэтому запись не может быть конечной. Выполним деление и будем следить за остатками: повторение остатка покажет, где начинается период. При делении на 6 остатки могут быть только от 0 до 5.
Ответ: 5/6 = 0,8(3); период — 3.
Перед проверкой нужно убедиться, что дробь несократима: общий множитель мог бы изменить знаменатель и вид записи. Затем разложим знаменатель на множители. Для нахождения самих цифр выполним деление и проследим за остатками.
Ответ: 13/28 = 0,46(428571); запись бесконечная периодическая.
Ошибка: считать, что любая дробь записывается конечной десятичной дробью. Так думают, потому что несколько первых знаков после запятой могут выглядеть как готовый ответ. Проверь знаменатель сокращённой дроби: если в нём есть множитель, отличный от 2 и 5, запись бесконечная периодическая.
Ошибка: проверять знаменатель до сокращения. Общий множитель числителя и знаменателя может убрать из него лишние множители и изменить вывод о десятичной записи. Сначала найди наибольший общий делитель и сократи дробь, а уже потом раскладывай знаменатель.
Ошибка: называть периодом всю бесконечную часть записи. В смешанной дроби, например 0,1(6), цифра 1 не повторяется, поэтому период — только 6. Чтобы проверить себя, найди самый короткий блок цифр, который повторяется снова и снова.
Ошибка: начинать период не с той цифры или включать в него лишние знаки. Такое случается, если записывать цифры, не отмечая остатки деления. Сверяй остатки: когда один остаток встретился повторно, соответствующий участок цифр начинает повторяться; именно его и заключают в скобки.
Для работы с рациональными числами нужны навыки обращения с обыкновенными дробями: сокращение, нахождение общего знаменателя и деление с остатком. Знание целых чисел помогает правильно работать со знаками числителя и знаменателя. Эти темы позволяют распознавать рациональные числа и переходить между разными формами их записи.
Рациональные числа нужны при сравнении и выполнении действий с дробями, а также при вычислении числовых выражений и решении уравнений. Понимание конечной и периодической записи помогает проверять результаты вычислений и выбирать удобную форму числа. Так дроби связывают целые числа с десятичными записями.
Как понять, является ли число рациональным?
Проверь, можно ли представить число в виде m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 0,75 = 3/4, поэтому это рациональное число. Числа с конечной и периодической десятичной записью тоже рациональны.
Почему целое число тоже считается рациональным?
Любое целое число a можно записать дробью a/1. Знаменатель 1 — целый и не равен нулю, значит, целое число подходит под определение рационального.
Когда обыкновенная дробь превращается в конечную десятичную дробь?
Сначала дробь нужно сократить. Её десятичная запись конечна тогда и только тогда, когда в знаменателе несократимой дроби есть только простые множители 2 и 5. Например, 7/20 = 0,35.
Как найти период бесконечной десятичной дроби?
Выполняй деление и отмечай остатки после каждого шага. Когда остаток повторится, дальше начнут повторяться те же цифры; группа цифр от первого соответствующего места и есть период. В записи её заключают в скобки.
Почему при делении дроби цифры начинают повторяться?
При делении с остатком возможны лишь конечное число остатков: каждый меньше знаменателя. Если деление продолжается бесконечно, какой-то остаток неизбежно встретится снова. С этого места повторятся действия и цифры частного.
§ 7. Рациональные числа
