§ 2. Рациональные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Знаменатель не может быть нулём, потому что деление на ноль не определено. Это условие отделяет допустимые дроби от выражений, которым нельзя приписать значение. Поэтому при проверке записи m/n всегда сначала смотрят на знаменатель.

Множество всех чисел, представимых в виде m/n при целых m и n и n ≠ 0, называют множеством рациональных чисел и обозначают Q. В него входят обыкновенные дроби, а также целые числа: например, 5 и −3. Значит, запись «рациональное число» не означает только дробь с числителем меньше знаменателя. Обозначение Q помогает кратко говорить обо всём этом множестве.

Конечная десятичная дробь — это десятичная запись, после запятой в которой стоит конечное число цифр. Например, 0,375 — конечная дробь, и её можно записать как 375/1000, а затем сократить. Такое представление позволяет перейти от десятичной формы к обыкновенной и применять правила действий с дробями. Нули в конце десятичной записи не меняют число: 0,5 = 0,50.

Периодическая десятичная дробь — бесконечная запись, в которой начиная с некоторого места повторяется одна и та же группа цифр. Эту повторяющуюся группу называют периодом; например, в 0,(27) периодом служит 27. Скобки обозначают, что цифры 27 повторяются без конца. Такие записи тоже связаны с обыкновенными дробями, поэтому входят в рациональные числа.

Как это устроено

Целое число a является рациональным, потому что его можно представить дробью a/1. При делении любого числа на 1 результат остаётся прежним, поэтому эта запись не меняет значение a. Например, −4 = −4/1, а 0 = 0/1. Так становится понятно, почему множество целых чисел целиком входит в Q, хотя целые числа обычно пишут без дробной черты.

Одно рациональное число может иметь много дробных записей, потому что значение дроби не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число. Например, 2/3 = 4/6: во второй дроби числитель и знаменатель увеличены вдвое. Обратное действие — деление обоих на общий делитель — сокращает дробь, не меняя её значения. Поэтому дробь сама по себе не всегда является единственной записью числа.

При делении числителя на знаменатель поразрядно получают десятичную запись дроби. На каждом шаге возникает остаток, а возможных остатков конечное число: от нуля до числа, на единицу меньшего знаменателя. Если остаток стал нулём, новых цифр уже не будет и запись конечна. Если остаток повторился, повторятся и дальнейшие шаги деления, поэтому цифры начнут повторяться периодически.

Обратный переход для конечной десятичной дроби прост: число цифр после запятой подсказывает степень десяти в знаменателе. Например, 0,42 = 42/100 = 21/50, потому что после запятой две цифры. Для трёх знаков знаменателем сначала будет 1000, для одного — 10. Затем дробь сокращают, если числитель и знаменатель имеют общий делитель; так запись становится проще, но значение остаётся тем же.

Бесконечная периодическая дробь также рациональна, поскольку период можно устранить вычитанием. Пусть x = 0,(27); умножение на 100 сдвигает повторяющиеся цифры на два разряда: 100x = 27,(27). Вычитаем исходное равенство: 100x − x = 27,(27) − 0,(27), откуда 99x = 27 и x = 27/99 = 3/11. Степень десяти выбирают так, чтобы одинаковые периоды в двух равенствах совпали.

Формы записи рациональных чисел

В таблице собраны распространённые способы записывать рациональные числа. Смотрите на форму записи, а затем проверяйте, как её можно связать с дробью m/n. Примеры показывают, что разные на вид записи могут обозначать число одного и того же множества.

Разбор задач

Задача 1. Представьте число 7 в виде дроби со знаменателем 5. Нужно сохранить значение числа и получить указанный знаменатель. Начинаем с равной ему дроби 7/1, а затем подбираем одинаковый множитель для числителя и знаменателя.

1. Запишем целое число дробью: 7 = 7/1. Эта запись удобна, потому что знаменатель уже виден.
2. Чтобы знаменатель 1 стал равен 5, умножим его на 5. По свойству равных дробей числитель тоже умножаем на 5: 7/1 = (7 · 5)/(1 · 5) = 35/5.
3. Проверка: 35 разделить на 5 — это 7, следовательно, значение числа сохранилось. Ответ: 35/5.

Задача 2. Представьте дробь 3/8 в виде десятичной дроби и определите её вид. Для перехода делим числитель на знаменатель. Удобно выполнить деление столбиком: если остаток в конце деления станет нулём, запись будет конечной.

1. Начинаем делить 3 на 8: целая часть равна 0, поэтому ставим запятую и рассматриваем 30 десятых. 30 : 8 = 3, остаток 6.
2. Сносим следующий ноль: 60 : 8 = 7, остаток 4. Ещё раз сносим ноль: 40 : 8 = 5, остаток 0, поэтому деление завершено.
3. Получаем 3/8 = 0,375. После запятой три цифры, а остаток стал нулём, значит, это конечная десятичная дробь. Ответ: 0,375 — конечная дробь.

Задача 3. Докажите, что 0,(27) — рациональное число, и запишите его в виде обыкновенной дроби. Повторяющийся блок состоит из двух цифр, поэтому умножение на 100 сдвинет период ровно на один полный блок. После вычитания записи с одинаковыми периодами исчезнут бесконечные десятичные части.

1. Обозначим x = 0,(27). Это значит, что после запятой бесконечно повторяется блок 27.
2. Умножим равенство на 100: 100x = 27,(27). Теперь цифры после запятой совпадают с цифрами исходного x, поэтому вычтем x = 0,(27).
3. Получим 99x = 27, значит, x = 27/99. Сократим числитель и знаменатель на 9: x = 3/11, поэтому число рационально. Ответ: 0,(27) = 3/11.

Типичные ошибки

• Ошибка — считать рациональными только обыкновенные дроби, записанные с чертой. Так думают, потому что определение использует дробь m/n, но целое число тоже имеет такую запись: a = a/1. Проверка простая: представьте целое число со знаменателем 1.

• Ошибка — допускать знаменатель 0 в записи m/n. Иногда кажется, что ноль можно использовать как любое другое целое число, однако деление на ноль не определено. Перед тем как назвать дробь рациональным числом, проверьте условие n ≠ 0.

• Ошибка — путать конечную десятичную дробь с бесконечной периодической и считать рациональной только одну из них. Конечная запись превращается в дробь со знаменателем 10, 100 и так далее, а периодическую можно свести к дроби вычитанием равенств. Проверьте, что конечная или повторяющаяся десятичная запись действительно задаёт отношение целых чисел.

• Ошибка — при переводе периодической дроби умножать на неверную степень 10. Множитель выбирают не наугад: он должен сдвинуть цифры на длину периода, а если перед периодом есть неповторяющиеся цифры, учитывают и этот сдвиг. Проверьте, совпадают ли периодические части в двух равенствах перед вычитанием.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными числами нужны знания о целых числах, обыкновенных дробях и делении с остатком. Они помогают понимать запись m/n, сокращать дроби и объяснять появление десятичного периода. Рациональные числа используются при сравнении чисел, вычислениях, работе с числовыми выражениями и решении уравнений. Их десятичные записи подготавливают к изучению действительных чисел, в том числе иррациональных.

Что запомнить

• Рациональное число представимо в виде m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0.
• Каждое целое число является рациональным.
• Равные дроби могут иметь разные числители и знаменатели.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.
• Любая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом.