"Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень) (в 2 частях), изд-во «Мнемозина»", Мордкович А.Г.
Натуральные числа используют при счёте, а целые числа расширяют их, добавляя ноль и отрицательные числа. Это расширение позволяет записывать, например, не только прибавление, но и уменьшение величины, а также разность, которая не является натуральным числом. Целые числа обозначают буквой ℤ, натуральные — ℕ. Чтобы уверенно работать с ними, нужно понимать, как они расположены на числовой прямой, сравниваются и участвуют в сложении и вычитании.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — это числа, которыми пользуются при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Множество таких чисел обозначают ℕ. В этом разборе считаем, что натуральные числа начинаются с 1; это соглашение помогает отличать их от нуля и отрицательных чисел.
Целые числа — это натуральные числа, числа, противоположные им, и ноль. Например, к целым относятся −4, 0 и 4; множество целых обозначают ℤ. Оно нужно, чтобы записывать значения меньше нуля и разности, которые нельзя выразить натуральным числом.
Ноль — целое число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Входит ли он в натуральные числа, зависит от соглашения: иногда натуральный ряд начинают с нуля, иногда — с единицы. Поэтому при решении задачи следует придерживаться определения, принятого в учебнике.
Противоположными называют числа, которые отличаются только знаком: например, 5 и −5. У каждого ненулевого целого числа есть противоположное, тоже целое; оба числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Ноль противоположен самому себе, поскольку смена его знака не меняет его значение.
Множество целых чисел получают, расширяя множество чисел для счёта: к натуральным добавляют ноль и отрицательные числа. Такая необходимость возникает, когда обычных чисел для записи результата не хватает: например, 3 − 8 нельзя представить натуральным числом, но его значение равно −5. Отрицательные числа позволяют сохранить смысл вычитания и в таких случаях.
Связь множеств можно записать так: ℕ ⊂ ℤ, то есть каждое натуральное число входит в множество целых. Это следует из определения целых чисел: в него включены все натуральные числа. Обратное неверно, потому что целыми являются также ноль и отрицательные числа, которые при выбранном соглашении не входят в ℕ.
На числовой прямой ноль служит точкой отсчёта: положительные числа располагаются справа, а отрицательные — слева. Чем правее число, тем оно больше, потому что числовая прямая устроена в направлении возрастания слева направо. Противоположные числа равноудалены от нуля, но лежат по разные стороны от него: например, 4 и −4.
Сравнивать целые числа удобно по их расположению на прямой. Любое отрицательное число лежит левее нуля, поэтому оно меньше нуля и любого положительного числа. Среди отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю: −3 > −9, хотя модуль числа −9 больше. Модуль показывает расстояние до нуля, а не положение числа относительно другого.
Сложение целых чисел выполняют с учётом знаков: если знаки одинаковы, складывают модули и сохраняют общий знак; если разные — из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем. Вычитание заменяют сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Например, 7 − (−2) = 7 + 2 = 9. Сумма и разность целых чисел всегда целые, поэтому множество ℤ замкнуто относительно сложения и вычитания.
| Признак | Натуральные числа ℕ | Целые числа ℤ |
|---|---|---|
| Какие числа входят в множество | Числа для счёта: 1, 2, 3, … | Положительные, отрицательные числа и ноль |
| Входит ли ноль | Нет, при принятом здесь соглашении | Да |
| Входят ли отрицательные числа | Нет | Да |
| Расположение на числовой прямой | Справа от нуля | Отрицательные слева, ноль в начале отсчёта, положительные справа |
| Замкнутость относительно сложения и вычитания | Сложение сохраняет натуральность, вычитание — не всегда | Сложение и вычитание всегда дают целое число |
Таблица помогает быстро проверить, к какому множеству относится число, и увидеть, какие действия можно выполнить без выхода за пределы множества. Обрати внимание: для натуральных чисел вычитание не всегда даёт натуральное число, например 2 − 5 = −3. Для целых чисел такой проблемы нет.
Задача 1. Определите, какие из чисел −5, 0, 4, 12 являются натуральными и какие — целыми. Здесь важно сначала проверить знак числа, а затем учесть соглашение: натуральный ряд начинается с 1, поэтому ноль в него не входит. Целые числа включают все числа из списка.
Ответ: натуральные числа — 4 и 12; целые — −5, 0, 4 и 12.
Задача 2. Расположите числа −7, 3, −2, 0, 5 в порядке возрастания. Возрастание означает движение по числовой прямой слева направо. Сначала поставим отрицательные числа: −7 дальше от нуля и левее, чем −2; затем идут ноль и положительные числа в обычном порядке.
Ответ: −7, −2, 0, 3, 5.
Задача 3. Вычислите −8 − (−3) + 6 − 11. Чтобы не запутаться в знаках, сначала заменим вычитание сложением противоположного числа, а затем вычислим последовательно. Скобки показывают, что вычитается именно отрицательное число.
Ответ: −10.
Ошибка с нулём. Ноль могут без проверки считать натуральным или ненатуральным. Причина в том, что в разных определениях граница множества ℕ задаётся по-разному. Сверься с соглашением учебника и пользуйся им во всех задачах.
Отрицательные числа относят к натуральным. Так бывает, если ориентироваться только на то, что число целое. Но натуральные числа используют при счёте, а отрицательные находятся левее нуля и в ℕ не входят. Проверка простая: если число меньше нуля, оно не натуральное.
Сравнивают отрицательные по модулю. Можно решить, что −9 больше −3, потому что 9 больше 3. Ошибка возникает, если забыть, что числа на прямой возрастают слева направо: −9 находится левее −3. Чтобы проверить себя, представь их положение относительно нуля.
При вычитании отрицательного числа оставляют знак минус. Например, записывают −8 − (−3) как −8 − 3. Скобки и правило вычитания показывают, что нужно прибавить противоположное вычитаемому: −8 − (−3) = −8 + 3. Проверяй каждый такой переход отдельно.
Для работы с целыми числами пригодятся знания о натуральном ряде, арифметических действиях и числовой прямой. Натуральные числа уже знакомы по счёту, а числовая прямая помогает увидеть, как к ним добавляются ноль и отрицательные числа. Целые числа понадобятся при изучении рациональных чисел, уравнений и неравенств. Они также помогают описывать отрицательные значения величин, например температуру ниже нуля.
Относится ли ноль к натуральным числам?
Это зависит от принятого соглашения: в одних определениях натуральный ряд начинается с 0, в других — с 1. В этом разборе используем соглашение ℕ = {1, 2, 3, …}, поэтому ноль не считаем натуральным. При решении задач ориентируйся на определение, данное в учебнике.
Почему натуральные числа входят в множество целых?
Целые числа включают все натуральные числа, а также ноль и отрицательные числа, противоположные натуральным. Поэтому любое натуральное число принадлежит ℤ. Например, 6 — и натуральное, и целое число.
Какое из отрицательных чисел больше?
Больше то отрицательное число, которое ближе к нулю. Например, −2 > −7, потому что −2 расположено правее −7 на числовой прямой. Если модули отрицательных чисел сравнить наоборот, можно ошибиться.
Как сравнить целые числа с помощью числовой прямой?
На числовой прямой числа возрастают слева направо. Из двух чисел больше то, которое расположено правее. Поэтому любое отрицательное число меньше нуля, а любое положительное — больше нуля.
Почему вычитание отрицательного числа превращается в сложение?
Вычесть число — значит прибавить противоположное ему число. Противоположное к отрицательному числу положительно, поэтому −8 − (−3) = −8 + 3. Такое правило позволяет свести вычитание к сложению целых чисел.
§ 1. Натуральные и целые числа
