10. Рациональные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 3/5 и −7/2 рациональны, как и целые числа: −4 = −4/1, 0 = 0/1. Значит, рациональными бывают не только положительные дроби.

Несократимая дробь — дробь, у числителя и знаменателя которой нет общего делителя, кроме 1. Например, 6/8 можно сократить до 3/4, а 3/4 уже несократима. Такая запись удобна тем, что показывает число без лишних общих множителей.

Конечная десятичная дробь — десятичная запись, в которой после запятой стоит конечное число цифр. Например, 0,375 — конечная дробь и равна 375/1000. Знаменатель такой обыкновенной дроби является степенью 10, а затем дробь при необходимости сокращают.

Периодическая десятичная дробь — бесконечная запись, в которой одна цифра или группа цифр повторяется снова и снова. Повторяющуюся группу называют периодом и обозначают скобками: 0,(27) означает 0,272727… . Скобки позволяют коротко записать бесконечное повторение.

Как это устроено

Дробь m/n задаёт рациональное число, если числитель и знаменатель целые, а знаменатель не равен нулю. Разные дроби могут обозначать одно и то же число: например, 1/2 = 2/4, потому что числитель и знаменатель первой дроби умножили на одно и то же число. Поэтому запись рационального числа не единственна, и сокращение помогает выбрать более простую форму.

При делении числителя на знаменатель после запятой появляются цифры, а на каждом шаге остаётся остаток. Остаток может быть только одним из конечного числа целых чисел от 0 до знаменателя на единицу меньше. Если остаток стал нулём, деление заканчивается; если он повторился, дальнейшие действия повторят прежний ход, и цифры начнут повторяться. Поэтому десятичная запись рационального числа конечна или периодична.

Чтобы получить десятичную запись обыкновенной дроби, делят числитель на знаменатель столбиком. Например, при делении 1 на 6 получаются цифры 1 и 6, а затем снова остаток 4: 1/6 = 0,1(6). Именно повтор остатка показывает, где начинается период, а расстояние между его повторениями определяет длину периода. Если остаток повторился после нескольких неповторяющихся цифр, дробь будет смешанной периодической.

Конечную десятичную дробь переводят в обыкновенную по разрядам. В числе 0,375 три цифры после запятой, поэтому знаменатель будет 1000: 0,375 = 375/1000. Затем числитель и знаменатель делят на общий делитель, чтобы получить несократимую дробь 3/8. Такой способ работает, потому что десятые, сотые и тысячные доли равны 1/10, 1/100 и 1/1000.

Для перевода периодической дроби удобно обозначить её через x и умножить на степени 10. Выбирают множители так, чтобы в двух равенствах периодические части располагались одинаково; тогда при вычитании бесконечный повторяющийся хвост исчезает. Если перед периодом есть неповторяющиеся цифры, сначала сдвигают запятую за них, а затем ещё на число разрядов, равное длине периода. Полученное уравнение решают относительно x.

Представления рациональных чисел

Сначала определите, какой вид записи дан: это подскажет способ перехода к дроби. Для периодической записи обратите внимание, начинается ли повтор сразу после запятой или после нескольких цифр. После вычислений проверьте, можно ли сократить полученную дробь.

Разбор задач

Определить, являются ли числа −7, 0, 3/5 и √2 рациональными

Проверим каждое число по определению: оно рационально, если представимо дробью с целыми числителем и ненулевым знаменателем. Целые числа легко записать со знаменателем 1, а дробь 3/5 уже подходит. Для √2 нужно знать, можно ли представить корень такой дробью; покажем, почему это невозможно.

1. −7 = −7/1, поэтому число рационально.
2. 0 = 0/1, поэтому ноль рационален.
3. 3/5 имеет целые числитель и знаменатель, причём знаменатель ненулевой, значит, это рациональное число.
4. √2 нельзя представить дробью целых чисел. Если бы √2 = a/b в несократимом виде, то a² = 2b², откуда a чётно; подстановка a = 2k показывает, что b тоже чётно. Это противоречит несократимости дроби.

Ответ: −7, 0 и 3/5 — рациональные числа, √2 — иррациональное.

Записать 0,375 в виде несократимой обыкновенной дроби

В десятичной записи три цифры после запятой, значит, число выражает тысячные доли. Запишем его дробью со знаменателем 1000, а затем сократим. Сокращение не меняет значение дроби, поскольку числитель и знаменатель делятся на одно и то же число.

1. Убираем запятую и получаем числитель 375.
2. Записываем 0,375 = 375/1000.
3. Делим числитель и знаменатель на 125: 375/1000 = 3/8.

Ответ: 0,375 = 3/8.

Представить 0,2(36) в виде обыкновенной дроби

В записи 0,2(36) цифра 2 не повторяется, а период 36 начинается после неё. Поэтому удобно сначала сдвинуть запятую на один разряд, затем ещё на два — длину периода. Обозначим исходное число через x, чтобы вычесть равенства и убрать повторяющуюся часть.

1. Пусть x = 0,2363636… . Тогда 10x = 2,363636… и 1000x = 236,363636… .
2. Вычитаем первое равенство из второго: 1000x − 10x = 236,363636… − 2,363636… .
3. Получаем 990x = 234, поэтому x = 234/990.
4. Сокращаем дробь на 18: 234/990 = 13/55.

Ответ: 0,2(36) = 13/55.

Типичные ошибки

• Считать рациональными только положительные дроби — ошибка: знак числителя может быть отрицательным, а целые числа тоже подходят под определение. Такое заблуждение возникает, если думать только о привычных дробях с положительными числами. Проверьте себя, записав, например, −4 как −4/1.

• Считать любую бесконечную десятичную дробь периодической неверно: бесконечность сама по себе не означает повторения. Путают эти свойства, потому что периодическая запись тоже никогда не заканчивается. Чтобы проверить дробь, нужно найти неизменный повторяющийся блок; у √2 такого блока нет.

• В смешанной периодической дроби период начинается не сразу после запятой, а после неповторяющихся цифр. Границу легко поставить неверно, если не следить за скобками: в 0,2(36) период — 36, а не 236. Проверьте, какая часть записи повторяется при продолжении десятичного ряда.

• При переводе периодической дроби можно забыть сдвиг запятой за непериодическую часть или неверно вычесть равенства. Тогда повторяющиеся хвосты не совпадут и не сократятся. Перед вычитанием проверьте, что периоды стоят в одинаковых разрядах, а умножение на 10, 100 или 1000 соответствует нужному сдвигу.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными числами нужны навыки обращения с обыкновенными дробями, их сокращения, знания целых чисел и деления с остатком. Рациональные числа позволяют сравнивать и выполнять арифметические действия с дробями и десятичными записями. Позже это понятие поможет отличать рациональные числа от иррациональных и изучать множество действительных чисел, объединяющее оба вида.

Что запомнить

• Рациональное число представимо дробью m/n, где m и n — целые числа и n ≠ 0.
• Любое целое число является рациональным.
• Рациональная десятичная запись конечна или периодична.
• Конечную десятичную дробь можно записать обыкновенной дробью со знаменателем 10, 100, 1000 и т. д.
• Периодическая десятичная дробь также представима обыкновенной дробью.
• Одна и та же рациональная величина может иметь разные равные записи.