11. Иррациональные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Его десятичная запись либо заканчивается, либо бесконечно повторяет один и тот же набор цифр: такие записи называют периодическими. Это определение помогает сразу распознавать многие знакомые дроби и десятичные числа.

Иррациональное число нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. Его десятичная запись бесконечна и непериодична: цифры продолжаются без конца и не образуют повторяющегося периода. Это понятие нужно, чтобы описывать числа, которые не выражаются обыкновенными дробями, например √2.

Действительные числа — это все рациональные и иррациональные числа вместе. Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой, а каждой точке — действительное число. Так можно изображать и сравнивать числа обоих видов на одной прямой.

Десятичное приближение числа — конечная десятичная дробь, близкая к этому числу. Приближение с недостатком меньше исходного числа, а с избытком — больше него. Оно нужно, когда точное значение неудобно записывать или требуется вычислить его с заданной точностью.

Как это устроено

При делении числителя на знаменатель десятичные цифры получают последовательно, отслеживая остаток. Остаток всегда меньше делителя, поэтому возможных остатков конечное число. Если деление не заканчивается нулевым остатком, какой-то остаток рано или поздно повторится; после этого повторятся и цифры частного. Так у рационального числа появляется период, а если остаток стал нулём — десятичная запись заканчивается.

Бесконечная непериодическая запись не может быть записью рациональной дроби. Если бы число равнялось отношению целых чисел, при делении его числителя на знаменатель остатки должны были бы повториться, потому что их возможное число ограничено. Повтор остатка означал бы повтор цифр, то есть период. Поэтому отсутствие периода показывает, что число нельзя представить дробью целых чисел.

Одних рациональных чисел недостаточно, чтобы обозначить все точки числовой прямой. Например, диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора имеет длину √2: квадрат этой длины равен 1² + 1² = 2. Точка, соответствующая такой длине, находится на прямой, хотя её координату нельзя записать обыкновенной дробью. Иррациональные числа как раз заполняют подобные места на числовой прямой.

Корень √n из натурального числа, которое не является квадратом целого числа, иррационален. Если бы, например, √2 равнялся дроби m/n, то после возведения обеих частей в квадрат получилось бы m² = 2n². Из этого равенства следует, что m² чётно, значит, m чётно; подстановка m = 2k показывает, что и n чётно. Но тогда у дроби m/n есть общий делитель 2, хотя её считали несократимой. Такое противоречие доказывает, что √2 иррационально; для других натуральных чисел, не являющихся квадратами, действует тот же факт.

Чтобы найти десятичное приближение корня, заключают его между числами, квадраты которых находятся по разные стороны от подкоренного числа. Сначала можно взять соседние целые числа, затем десятые, сотые и так далее. Например, если квадрат нижней границы меньше 5, а квадрат верхней больше 5, то √5 расположено между этими границами. Каждое уточнение сужает промежуток и даёт более точное приближение.

Рациональные и иррациональные числа

Пользуйтесь таблицей так: сначала проверьте, можно ли представить число дробью целых чисел, затем посмотрите на его десятичную запись. Примеры помогают сверить вывод, но одинаковое положение на прямой не означает, что числа относятся к одному виду.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел √16, √7, 0,125 и 0,(3) рациональны, а какие иррациональны.

1. Вычислим √16: поскольку 16 = 4², получаем √16 = 4. Целое число можно записать дробью 4/1, поэтому оно рационально.
2. Число 7 не является квадратом целого числа, поэтому √7 иррационально.
3. Десятичная дробь 0,125 конечна и равна 125/1000, значит, она рациональна.
4. В записи 0,(3) цифра 3 повторяется бесконечно. Это периодическая дробь, равная 1/3, поэтому она рациональна.

Ответ: рациональны √16, 0,125 и 0,(3); иррационально √7.

Задача 2. Заключите число √5 между двумя соседними десятыми дробями.

1. Так как 2² = 4, а 3² = 9, число √5 находится между 2 и 3. Ищем границы с точностью до десятых.
2. Возведём в квадрат 2,2 и 2,3: 2,2² = 4,84, а 2,3² = 5,29. Число 5 находится между этими квадратами.
3. Квадрат положительного числа возрастает вместе с самим числом. Значит, границы можно перенести с квадратов на исходные числа: 2,2 < √5 < 2,3.

Ответ: √5 находится между соседними десятыми дробями 2,2 и 2,3.

Задача 3. Докажите, что √2 — иррациональное число.

1. Предположим обратное: √2 = m/n, где дробь несократима, а m и n — целые числа, n ≠ 0.
2. Возведём равенство в квадрат: m²/n² = 2, откуда m² = 2n². Значит, m² чётно, а потому чётно и m.
3. Пусть m = 2k. Тогда 4k² = 2n², поэтому n² = 2k². Следовательно, n тоже чётно.
4. Числитель и знаменатель оказались делящимися на 2, значит, дробь m/n можно сократить. Это противоречит условию, что она несократима.

Ответ: предположение неверно, поэтому √2 иррационально.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной. Так думают, потому что бесконечную запись легко спутать с непериодической. Проверьте, повторяется ли блок цифр: например, 0,(3) бесконечно, но рационально.
• Ошибка: считать √n иррациональным при любом натуральном n. Это неверно, поскольку √16 = 4. Перед выводом проверьте, не является ли подкоренное число квадратом целого числа.
• Ошибка: принимать десятичное приближение за само иррациональное число. Например, запись 1,41 не равна √2, а лишь близка к нему. Знак ≈ напоминает о приближении; конечная десятичная дробь рациональна.
• Ошибка: объявлять число иррациональным по нескольким первым цифрам. Период может начаться позже, поэтому начальный участок записи ничего не доказывает. Для уверенного вывода используйте определение или доказательство, а не короткий фрагмент десятичной записи.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания об обыкновенных и десятичных дробях, целых числах и делении с остатком. Также пригодится умение извлекать квадратный корень и сравнивать положительные числа. Иррациональные числа позволяют описывать точки числовой прямой и длины, например диагональ квадрата. Далее эти знания понадобятся при изучении действительных чисел, преобразований выражений с корнями и уравнений с иррациональными выражениями.

Что запомнить

• Рациональное число представляется дробью целых чисел с ненулевым знаменателем.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.
• Корень из натурального числа, не являющегося квадратом целого числа, иррационален.
• Иррациональное число можно приближать конечными десятичными дробями с нужной точностью.