§ 9. Иррациональные числа

Определения и обозначения

Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Например, 0,25 = 1/4, а −3 = −3/1. Это определение позволяет проверять, можно ли записать число отношением целых чисел, даже если оно выглядит как десятичная дробь.

Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. К таким числам относятся √2, √3 и π. Это понятие нужно, чтобы обозначить числа, не укладывающиеся в дроби, но всё равно имеющие точное место на числовой прямой.

Действительные числа — объединение рациональных и иррациональных чисел, соответствующее всем точкам числовой прямой. Иначе говоря, каждое действительное число можно соотнести с одной точкой, а каждой точке — с числом. Это множество охватывает все числа, с которыми обычно работают при измерении и вычислениях.

Бесконечная непериодическая десятичная дробь — запись с бесконечным количеством цифр после запятой, в которой цифры не повторяются постоянно одним и тем же блоком. Такая запись описывает иррациональное число. Понятие помогает отличать его от рациональной дроби, десятичная запись которой заканчивается или становится периодической.

Как это устроено

Иррациональные числа понадобились, когда оказалось, что не всякую длину можно выразить рациональной дробью. Например, диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора имеет длину d, для которой d² = 1² + 1² = 2, значит, d = √2. Если бы эту длину можно было записать дробью, то √2 было бы рациональным числом, но это невозможно. Поэтому для точного описания диагонали нужно число за пределами множества рациональных.

Докажем невозможность представить √2 дробью. Предположим обратное: √2 = m/n, причём дробь m/n несократима, то есть m и n не имеют общего делителя, кроме 1. После возведения в квадрат получаем m² = 2n², поэтому m² чётно и само m чётно; подставив m = 2k, получим n² = 2k², значит, n тоже чётно. Тогда у m и n есть общий делитель 2, что противоречит несократимости дроби, поэтому √2 иррационально.

Десятичная запись показывает различие между двумя видами чисел. У рационального числа после запятой либо заканчиваются цифры, как у 0,25, либо повторяется блок, как в 0,333… = 0,(3). У иррационального числа цифры продолжаются без конца и не образуют повторяющегося периода. Причина в том, что конечную или периодическую запись можно выразить обыкновенной дробью, а иррациональное число такой дробью не является.

Рациональные и иррациональные числа вместе заполняют числовую прямую: ни одна её точка не остаётся без действительного числа. Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка, а каждой точке — ровно одно число, поэтому их можно сравнивать и изображать на прямой. Например, из 1² < 2 < 2² следует 1 < √2 < 2. Приближённая запись √2 ≈ 1,41 помогает отметить его положение точнее, хотя не заменяет точного значения.

Сумма, разность, произведение или частное иррациональных чисел не обязаны быть иррациональными: результат зависит от конкретных чисел. Так, √2 · √2 = 2, а √2 + (−√2) = 0 — оба результата рациональны. Но √2 + 1 остаётся иррациональным: иначе вычитание рационального 1 сделало бы √2 рациональным. Значит, после действия нужно исследовать полученное выражение, а не переносить на него свойство слагаемых или множителей.

Рациональные, иррациональные и действительные числа

Сначала определите, какую именно характеристику числа нужно проверить: способ представления, десятичную запись или место на прямой. Если число допускает запись m/n, оно рациональное; если нет, но оно является действительным, оно иррациональное. Последний столбец показывает, что действительные числа включают оба этих множества.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какие из чисел 0,25; √49; √2; 0,(3); π рациональны, а какие иррациональны. Удобно сначала привести числа к знакомому виду, а затем применить определение рациональности. Десятичная запись тоже помогает, если она конечная или периодическая.

1. 0,25 = 25/100 = 1/4, поэтому число рациональное.
2. √49 = 7, поскольку 7² = 49; это целое, а значит, рациональное число.
3. √2 иррационально: его нельзя представить дробью целых чисел.
4. 0,(3) — периодическая дробь, причём 0,(3) = 1/3; число рациональное.
5. π — иррациональное число.

Ответ: рациональные числа — 0,25, √49 и 0,(3); иррациональные — √2 и π. Знак корня сам по себе не решает задачу: сначала нужно проверить, упрощается ли корень до рационального числа.

Задача 2. Докажем, что √3 иррационально. Предположим противное: √3 = m/n, где m и n — взаимно простые целые числа и n ≠ 0. Возведение в квадрат позволяет перейти к равенству целых чисел, удобному для рассуждения о делимости.

1. Из √3 = m/n получаем m² = 3n².
2. Значит, m² делится на 3, поэтому m делится на 3. Обозначим m = 3k.
3. Подставляем: 9k² = 3n², откуда n² = 3k². Следовательно, n тоже делится на 3.
4. И m, и n делятся на 3, хотя дробь выбрана несократимой. Это противоречие опровергает предположение.

Ответ: √3 — иррациональное число. Главная идея доказательства — показать, что предполагаемая дробь обязательно имеет общий делитель числителя и знаменателя.

Задача 3. Сравнить √5 и 2,3, а затем представить √20 как произведение рационального числа и √5. В первом пункте сравним квадраты положительных чисел; во втором найдём полный квадрат внутри подкоренного выражения. Такой порядок помогает не прибегать к неточным округлениям.

1. Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты: (√5)² = 5, а 2,3² = 5,29.
2. Так как 5 < 5,29, то √5 < 2,3.
3. Разложим 20 на множители 4 и 5: √20 = √(4 · 5).
4. Из √4 = 2 получаем √20 = 2√5. Число 2 рационально, как и требуется.

Ответ: √5 < 2,3; √20 = 2√5. Сравнение квадратов здесь допустимо, поскольку исходные числа положительны, а полный квадрат 4 можно вынести из-под корня.

Типичные ошибки

Бесконечную десятичную запись иногда считают достаточным признаком иррациональности. Ошибка возникает, если забыть о периодических дробях: например, 0,(3) бесконечна, но равна 1/3. Проверяйте, повторяется ли один и тот же блок цифр; бесконечность сама по себе ответа не даёт.

Число √16 могут назвать иррациональным только из-за знака корня. Но √16 = 4, а 4 можно записать как 4/1. Перед выводом упрощайте корень и проверяйте, не является ли подкоренное число полным квадратом.

Сумму или произведение двух иррациональных чисел иногда автоматически считают иррациональными. Такое рассуждение неверно: √2 · √2 = 2, и сумма √2 + (−√2) тоже равна рациональному числу 0. Проверяйте именно результат действия, а не только свойства исходных чисел.

Нельзя доказать иррациональность лишь тем, что первые несколько цифр десятичной записи не повторяются. Период может начинаться далеко после уже выписанных знаков, поэтому короткое приближение ничего не доказывает. Используйте строгое рассуждение, например доказательство от противного через взаимно простые числитель и знаменатель.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в теме, нужно уметь работать с обыкновенными и десятичными дробями, делимостью целых чисел, квадратным корнем и числовой прямой. Эти знания нужны, например, в доказательстве иррациональности через чётность или делимость числителя и знаменателя. Тема подготовит к изучению действительных чисел, преобразований выражений с корнями, уравнений и неравенств. Иррациональные числа также встречаются при вычислении длин диагоналей, площадей и при оценке числовых выражений.

Что запомнить

• Иррациональное число нельзя представить в виде дроби двух целых чисел.
• Рациональная десятичная дробь является конечной или бесконечной периодической.
• Иррациональная десятичная дробь бесконечна и непериодична.
• Числа √2, √3 и π являются иррациональными.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.
• Каждому действительному числу соответствует точка числовой прямой.
• Арифметические действия с иррациональными числами не обязаны давать иррациональный результат.