3.1. Иррациональные числа

Определения и обозначения

Иррациональное число — число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, √2 нельзя точно записать такой дробью. Это определение помогает отличать иррациональные числа от рациональных.

Бесконечная непериодическая десятичная дробь — запись иррационального числа, в которой после запятой бесконечно много цифр без повторяющегося периода. В записи √2 = 1,414213... цифры продолжаются и не образуют постоянно повторяющийся блок. По такому признаку иррациональные числа узнают среди десятичных дробей.

Иррациональный квадратный корень — квадратный корень из натурального числа, не являющегося точным квадратом. Например, √2 и √7 иррациональны, потому что среди целых чисел нет такого, чей квадрат равен 2 или 7. Это позволяет быстро определять вид многих корней.

Множество иррациональных чисел — все числа, не являющиеся рациональными. В него входят корни из неточных квадратов, число π и многие другие числа. Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Как это устроено

Десятичная запись рационального числа заканчивается или начинает повторяться, потому что при делении числителя на знаменатель возможны только конечное число остатков. Если остаток стал нулём, дробь имеет конечную запись. Если остаток повторился, дальше повторятся и цифры, поэтому появляется период.

У иррационального числа такой повторяющейся схемы нет. Если бы его бесконечная запись стала периодической, её можно было бы превратить в обычную дробь, и число оказалось бы рациональным. Поэтому десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.

Рассмотрим √2. Предположим, что √2 = m/n, где дробь несократима, а n ≠ 0. После возведения в квадрат получаем m² = 2n², значит, m² чётно и m чётно; тогда m² делится на 4, поэтому 2n² делится на 4, а n² и n тоже чётны. Получается, числитель и знаменатель имеют общий множитель 2, что противоречит несократимости дроби.

Для других корней используется тот же признак точного квадрата. Если n = a² для некоторого целого a, то √n = a и корень рационален. Если натуральное n не является квадратом целого числа, то √n иррационален.

Приближённое значение находят подбором десятичных чисел и сравнением их квадратов с подкоренным выражением. Например, 1,4² = 1,96, а 1,5² = 2,25, поэтому 1,4 < √2 < 1,5. Запись √2 ≈ 1,41 показывает лишь близкое значение, а не заменяет точное число.

Сравнение рациональных и иррациональных чисел

Пользуйтесь таблицей как проверочным алгоритмом: сначала изучите запись числа, затем выясните, является ли корень точным. Периодическая дробь не становится иррациональной только из-за своей бесконечности. Для корней главным является вид подкоренного числа.

Разбор задач

Задача 1

Определите, какие из чисел 0,25; 0,(3); √9; √7; π рациональны, а какие иррациональны.

1. 0,25 — конечная десятичная дробь, поэтому это рациональное число.
2. 0,(3) — бесконечная периодическая дробь, значит, она рациональна: 0,(3) = 1/3.
3. √9 = 3, потому что 3² = 9. Следовательно, √9 рационален.
4. 7 не является точным квадратом, поэтому √7 иррационален. Число π относится к иррациональным числам.

Ответ: рациональные числа — 0,25; 0,(3); √9, а иррациональные — √7 и π.

Задача 2

Сравните √2 с числами 1,4 и 1,5 и укажите приближённое значение √2 с точностью до десятых.

1. Возведём границы в квадрат: 1,4² = 1,96, а 1,5² = 2,25.
2. Так как 1,96 < 2 < 2,25, то при положительных числах 1,4 < √2 < 1,5.
3. Число √2 ближе к 1,4, чем к 1,5: √2 ≈ 1,414. При округлении до десятых получаем 1,4.

Ответ: 1,4 < √2 < 1,5; √2 ≈ 1,4 с точностью до десятых.

Задача 3

Докажите, что число √2 является иррациональным.

1. Предположим противоположное: √2 = m/n, где дробь несократима, m и n — целые, n ≠ 0.
2. Возведём равенство в квадрат: 2 = m²/n², значит, m² = 2n². Поэтому m² чётно, а вместе с ним чётно и m: m = 2k.
3. Подставим это в равенство: 4k² = 2n², откуда n² = 2k². Значит, n также чётно.
4. И m, и n делятся на 2, хотя дробь m/n была несократимой. Получили противоречие, поэтому предположение неверно.

Ответ: √2 — иррациональное число.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Любую бесконечную десятичную дробь считают иррациональной. Путают бесконечность записи с отсутствием периода, хотя 0,(6) рационально. Проверьте, повторяется ли после запятой одна и та же группа цифр.

Ошибка 2. √9 считают иррациональным только из-за знака корня. Забывают проверить, является ли подкоренное число точным квадратом. Вычислите корень: √9 = 3, значит, он рационален.

Ошибка 3. Принимают запись √2 ≈ 1,41 за само число √2. Знак ≈ означает приближение, а не равенство. Для точного ответа оставляйте √2, а десятичную запись используйте только для оценки.

Ошибка 4. Пытаются записать иррациональное число обычной дробью. Такая дробь может дать близкое приближение, но не точное значение. Проверьте, не заменили ли вы знак равенства на приближённое равенство.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны рациональные числа, обыкновенные дроби, периодические десятичные дроби и свойства квадратного корня. Эти знания позволяют распознавать вид числа и выполнять сравнение.

Иррациональные числа понадобятся при изучении действительных чисел, уравнений и координатной прямой. Они также встречаются при нахождении длин отрезков, которые выражаются через квадратные корни.

Что запомнить

• Иррациональное число нельзя представить в виде отношения двух целых чисел.
• Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.
• Корень из точного квадрата — рациональное число.
• Корень из натурального числа, не являющегося точным квадратом, иррационален.
• Приближённая десятичная запись не заменяет точную запись иррационального числа.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.