"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Действительные числа — это все числа, которые можно расположить на числовой прямой: рациональные и иррациональные. Рациональные записываются дробью m/n, а иррациональные так представить нельзя. В теме объясняется, как распознавать эти виды чисел, почему √2 иррационально, как сравнивать числа с корнями и почему каждой точке прямой соответствует единственное действительное число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное число — число, представимое в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Например, −3/5, 7 = 7/1 и 0,25 = 1/4 рациональны. Это определение помогает объединить целые, обыкновенные дроби и некоторые десятичные записи.
Иррациональное число — действительное число, которое нельзя представить в виде дроби двух целых чисел. К таким числам относятся √2 и π. Это понятие нужно, чтобы назвать числа, которые появляются при вычислениях, но не входят в множество рациональных.
Действительное число — любое рациональное или иррациональное число. Значит, числа −4, 1/3, √2 и π принадлежат одному большому множеству действительных чисел. С ним удобно работать, когда рассматривают все возможные точки числовой прямой.
Числовая прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением, на которой каждому действительному числу соответствует точка. Начало отсчёта обозначают числом 0, а положение остальных точек определяют расстоянием и направлением. Поэтому числа можно не только записывать, но и сравнивать по расположению точек.
Множество натуральных чисел удобно для счёта, но в нём нельзя выполнить вычитание большего числа из меньшего: 3 − 5 не является натуральным числом. Поэтому вводят целые числа, добавляя отрицательные числа и нуль. Но и целых чисел недостаточно для деления, например результат 1 : 2 не целый, поэтому появляются дробные и рациональные числа.
Рациональные числа могут иметь конечную или бесконечную периодическую десятичную запись. Конечная запись означает, что после некоторого знака цифры заканчиваются: 0,4 = 2/5. При делении целых чисел остатки повторяются или однажды становятся нулевыми, поэтому бесконечная запись рационального числа обязательно становится периодической, например 1/3 = 0,333…
Число √2 нельзя представить дробью двух целых чисел. Если предположить, что √2 = m/n, то после сокращения дроби m и n можно считать взаимно простыми; из равенства m² = 2n² следует, что m и n оба делятся на 2, что противоречит их взаимной простоте. Значит, √2 не рационально и является иррациональным.
Рациональные числа не исчерпывают все точки числовой прямой: между ними возникают, например, √2 и другие корни, а также π. Поэтому рациональные и иррациональные числа объединяют в множество действительных чисел. Такое расширение нужно, чтобы любое обычное положение точки на прямой имело числовое обозначение.
Каждому действительному числу соответствует единственная точка: её находят на расстоянии, равном модулю числа, справа или слева от нуля. Обратно, положение любой точки задаёт одно расстояние и направление, то есть одно действительное число. Поэтому числовая прямая и множество действительных чисел находятся во взаимно однозначном соответствии.
| Признак | Рациональные числа | Иррациональные числа | Действительные числа |
|---|---|---|---|
| Определение | Можно записать как m/n, m, n ∈ Z, n ≠ 0 | Нельзя записать как дробь двух целых чисел | Рациональные и иррациональные числа вместе |
| Примеры | −3/5, 0, 2, 0,1212… | √2, √5, π | −7, ½, √2, π |
| Вид десятичной записи | Конечная или периодическая бесконечная | Бесконечная непериодическая | Любая запись числа на числовой прямой |
| Связь с другими множествами чисел | Включают натуральные и целые числа | Не являются рациональными | Включают рациональные и иррациональные числа |
| Изображение на числовой прямой | Точка с рациональной координатой | Точка с иррациональной координатой | Любая точка прямой |
Сначала определите, можно ли представить число дробью двух целых чисел. Затем посмотрите на десятичную запись: конечная и периодическая записи указывают на рациональность. Если число относится хотя бы к одному из двух первых столбцов, оно обязательно является действительным.
Распределите числа −3/5, 0, √9, √2, 0,121212… и π на рациональные и иррациональные.
Ответ: рациональные числа — −3/5, 0, √9, 0,121212…; иррациональные — √2 и π.
Отметьте числа 1,5, −2/3 и √2 на числовой прямой и расположите их по возрастанию.
Ответ: −2/3 < √2 < 1,5.
Сравните √5 и 2,2 без вычисления значения корня на калькуляторе.
Ответ: √5 > 2,2. Такой способ позволяет сравнивать положительные корни с числами, не находя десятичное приближение корня.
Считать всякую бесконечную десятичную дробь иррациональной — ошибка. Периодическая запись 0,777… рациональна, потому что у неё повторяется один и тот же блок цифр. Проверяйте, появляется ли период; только бесконечная непериодическая запись может быть иррациональной.
Относить √9 к иррациональным числам только из-за знака корня тоже неверно. Сначала нужно вычислить корень: √9 = 3, а 3 = 3/1 — рациональное число. Аналогично проверяйте любой корень, если подкоренное число является точным квадратом.
Рациональные числа часто путают с целыми. Целые числа входят в рациональные, но рациональных чисел больше: 1/2 и −3,7 не являются целыми, однако являются рациональными. Для проверки ищите представление в виде m/n, а не только отсутствие дробной части.
Нельзя считать, что между соседними целыми числами нет других действительных чисел. Между 1 и 2 находятся, например, 1,5, 4/3 и √2, а таких рациональных и иррациональных чисел бесконечно много. Достаточно привести несколько примеров, чтобы проверить это утверждение.
Для изучения темы нужны знания о натуральных, целых и дробных числах, десятичных дробях и координатной прямой. Действительные числа используются при решении уравнений и неравенств, особенно содержащих квадратные корни. Позже они понадобятся при изучении функций, координат на плоскости и числовых промежутков.
Является ли нуль рациональным числом?
Да. Нуль можно представить в виде дроби 0/1, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю.
Почему √4 рационально, а √5 иррационально?
√4 = 2, а число 2 является целым и рациональным. √5 нельзя представить дробью двух целых чисел, поэтому это иррациональное число.
Всегда ли бесконечная десятичная дробь иррациональна?
Нет. Бесконечная периодическая дробь рациональна: например, 0,333… = 1/3. Иррациональной является бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Можно ли точно отметить иррациональное число на числовой прямой?
Да, каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой. Например, √2 можно построить с помощью прямоугольного треугольника с катетами 1.
Чем действительные числа отличаются от рациональных?
Рациональные числа составляют только часть действительных. К действительным относятся также иррациональные числа, например √2 и π.
3.2. Понятие действительного числа
