"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Действительные числа сравнивают, чтобы установить, какое из них больше, меньше или равно другому. Главный способ — посмотреть на положение чисел на координатной прямой: правее расположено большее число. Для дробей используют приведение к общему знаменателю или десятичному виду, для корней — сравнение квадратов, а для иррациональных чисел — достаточно точные приближения. Особенно внимательно нужно работать с отрицательными числами: у них порядок по модулям меняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Действительные числа — рациональные и иррациональные числа, которые можно изобразить точками на координатной прямой. К рациональным относятся, например, целые числа и дроби, а √2 — пример иррационального числа. Это понятие нужно, чтобы рассматривать на одной числовой прямой все числа, с которыми работают в алгебре.
Сравнение чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Результат сравнения записывают не словами, а математическим знаком. Сравнение помогает располагать числа по порядку и проверять, насколько верны полученные решения.
Знаки сравнения — знаки >, < и =. Запись 5 > 2 означает, что пять больше двух, а запись 3 = 3 — что числа равны. Знаки позволяют коротко записывать условие задачи, ответ и неравенство.
Координатная прямая — числовая прямая, на которой каждому числу соответствует точка. На ней большее число расположено правее меньшего, а меньшее — левее. Поэтому прямая даёт наглядное правило сравнения даже для отрицательных, дробных и иррациональных чисел.
Положение точек на координатной прямой задаёт единый порядок всех действительных чисел. Если точка a находится левее точки b, то a < b, потому что движение вправо соответствует увеличению чисел. Это работает и для целых чисел, и для дробей, и для чисел, чьи значения нельзя записать конечной десятичной дробью.
Числа разных знаков сравнивают сразу: любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля. Если оба числа положительные, больше то, у которого больше модуль. Для двух отрицательных чисел правило меняется: больше число, у которого модуль меньше, поскольку оно расположено ближе к нулю.
Рациональные дроби удобно сравнивать после приведения к общему знаменателю. Если знаменатели одинаковы, сравнивают числители, а при разных знаменателях можно использовать перекрёстное умножение для положительных дробей или сначала учесть знак. Десятичные дроби сравнивают по цифрам слева направо, при необходимости дописывая нули после запятой.
Иррациональные числа сравнивают по приближённым значениям, например √2 ≈ 1,41. Приближение должно быть достаточно точным: если два числа округлились до одного и того же значения, сравнение ещё не доказано. Тогда находят больше знаков или получают такие границы, между которыми числа уже не могут поменяться местами.
Квадратные корни сравнивают без извлечения корня, если оба сравниваемых числа неотрицательны: большему числу соответствует больший квадрат. Например, для √7 и 2,6 можно сравнить 7 и 2,6². С отрицательными числами нужно быть осторожным: при возведении в квадрат порядок меняется, потому что число с большим модулем становится большим положительным квадратом.
Сначала определите, к какому случаю относится пара чисел, а затем примените соответствующее правило. В последнем столбце указано, какой вывод обычно получают после сравнения. Если числа имеют разные знаки или один из них равен нулю, знак результата часто можно установить сразу.
| Случай | Способ сравнения | Результат |
|---|---|---|
| Числа изображены на координатной прямой | Сравнить положение точек: правая точка соответствует большему числу. | Точка правее означает знак >, левее — знак <. |
| Числа имеют разные знаки | Положительное число сравнить с нулём, отрицательное — с нулём. | Положительное число больше отрицательного. |
| Отрицательные числа | Сравнить модули и изменить порядок: больше число с меньшим модулем. | Например, −3 > −8. |
| Дроби с одинаковыми знаменателями | Сравнить числители, учитывая общий знак дробей. | При положительном знаменателе большему числителю соответствует большая дробь. |
| Дроби с разными знаменателями | Привести к общему знаменателю или выполнить перекрёстное умножение. | Получается сравнение чисел без дробных черт. |
| Числа с квадратными корнями | Для неотрицательных чисел сравнить квадраты или подкоренные выражения. | Большему квадрату соответствует большее неотрицательное число. |
| Иррациональные числа с приближёнными значениями | Вычислить приближения с достаточной точностью и сравнить их. | Приближения должны надёжно показывать порядок чисел. |
Здесь одно число записано обыкновенной дробью, а другое — десятичной. Чтобы сравнение было удобным, представим их в одном виде. После этого отдельно учтём, что оба числа отрицательные.
Ответ: −3/4 < −0,7. На координатной прямой −0,75 находится левее −0,7.
Оба числа неотрицательны, поэтому их можно сравнить по квадратам. Такой способ избавляет от необходимости находить длинное приближённое значение корня. Сначала возведём каждое число в квадрат, а затем сравним результаты.
Ответ: √7 > 2,6. Условие неотрицательности выполнено, поэтому порядок при сравнении квадратов сохранился.
Оба выражения положительны, значит, их можно возвести в квадрат без изменения порядка. При возведении произведения в квадрат возводим в квадрат каждый множитель. Затем сравниваем обычные числа.
Ответ: 3√2 < 2√5. Сравнение квадратов допустимо, потому что оба исходных выражения положительны.
Ошибка 1. Считать, что −8 больше −3, потому что 8 больше 3. Так забывают о знаке минус и расположении чисел слева от нуля. Проверьте себя на прямой: −8 находится левее −3, значит, −8 < −3.
Ошибка 2. При сравнении отрицательных дробей сравнивать только числители или знаменатели. Такой способ игнорирует общий знак и величину всей дроби. Сначала приведите дроби к удобному виду, сравните модули, а затем учтите отрицательный знак.
Ошибка 3. Возводить в квадрат числа разных знаков без анализа. Квадраты могут показать другой порядок: например, −5 < 2, но 25 > 4. Перед возведением проверьте знаки и помните, что правило сравнения по квадратам напрямую работает для неотрицательных чисел.
Ошибка 4. Делать вывод по слишком грубым приближённым значениям иррациональных чисел. Например, разные числа могут округлиться до 1,4. Увеличьте точность и сравнивайте следующие цифры или используйте границы, которые точно разделяют числа.
Для сравнения действительных чисел нужны координатная прямая, знания о положительных и отрицательных числах, обыкновенных и десятичных дробях, а также свойства квадратного корня. Эти умения переходят в решение неравенств: там знак сравнения помогает выбрать подходящие значения. Они также нужны при работе с числовыми промежутками, оценке выражений и построении графиков.
Почему из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю?
На координатной прямой отрицательные числа находятся слева от нуля. Чем ближе отрицательное число к нулю, тем правее расположена его точка, поэтому −3 > −8.
Можно ли сравнивать квадратные корни, не находя их приближённые значения?
Да, если подкоренные выражения неотрицательны. Достаточно сравнить их, потому что для неотрицательных чисел большему числу соответствует больший квадрат.
Почему при возведении отрицательных чисел в квадрат знак сравнения меняется?
Например, −5 < −2, но 25 > 4. При возведении в квадрат отрицательные числа превращаются в положительные, и число с большим модулем даёт больший квадрат.
Как сравнить дробь и бесконечную десятичную дробь?
Бесконечную десятичную дробь заменяют дробью или находят её приближение с нужной точностью. Затем сравнивают числа одинаковым способом, проверяя, не скрывается ли различие в следующих знаках.
Какую точность приближённых значений нужно выбрать для сравнения?
Точность должна быть такой, чтобы округлённые значения различались и их порядок был очевиден. Если приближения совпали, вычисляют следующие знаки.
3.3. Сравнение действительных чисел
