3.4. Основные свойства действительных чисел

Определения и обозначения

Переместительное свойство означает, что слагаемые и множители можно менять местами: a + b = b + a, ab = ba. Результат не изменяется, потому что порядок слагаемых или множителей не влияет на сумму и произведение. Это позволяет переставить числа для удобного вычисления.

Сочетательное свойство показывает, что при сложении или умножении можно по-разному группировать числа: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc). Скобки меняют порядок выполнения действий, но не итог. Свойство помогает сначала выполнить самые удобные действия.

Распределительное свойство связывает умножение со сложением: a(b + c) = ab + ac. При вычитании действует такая же идея: a(b − c) = ab − ac. Оно нужно, чтобы раскрывать скобки и выносить общий множитель.

Противоположное число для a обозначают −a; оно существует для любого действительного a и определяется равенством a + (−a) = 0. Обратное число обозначают 1/a; оно существует только при a ≠ 0 и характеризуется равенством a · 1/a = 1. Эти числа помогают заменять вычитание сложением, а деление — умножением.

Как это устроено

Свойства сложения и умножения выполняются для любых действительных чисел: целых, дробных, рациональных и иррациональных. Поэтому выражение можно преобразовывать разными способами, сохраняя его значение. Это особенно полезно, когда исходная запись неудобна для вычисления.

Ноль и единица играют особую роль. Прибавление нуля ничего не меняет: a + 0 = a, потому что к числу не добавляется никакая величина; умножение на единицу также сохраняет число: a · 1 = a. При умножении на ноль результат всегда равен нулю, так как ноль частей любого размера даёт нулевую величину.

Противоположное число связано с вычитанием: a − b можно записать как a + (−b). Так знак минус превращается в сложение с числом, имеющим противоположный знак. Обратное число связано с делением: a : b = a · 1/b, если b ≠ 0, поэтому делить на ноль нельзя.

Переместительное свойство позволяет менять порядок слагаемых и множителей, а сочетательное — объединять их в удобные группы. Например, при сложении можно сначала соединить числа, дающие 10 или 100. При умножении удобно поставить рядом множители, произведение которых равно 1, 10 или 100.

Распределительное свойство позволяет раскрывать скобки: внешний множитель умножается на каждый член внутри скобок. В обратную сторону общий множитель можно вынести за скобки: ab + ac = a(b + c). При наличии вычитания знак второго слагаемого сохраняется: ab − ac = a(b − c).

Основные свойства действительных чисел

Таблицу удобно использовать как краткую памятку при преобразовании выражений. Сначала определите действие и найдите подходящее свойство, затем проверьте, выполнены ли его условия.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 38 + 57 + 62.

1. Ищем слагаемые, которые удобно объединить: 38 и 62 дают круглое число 100.
2. По переместительному и сочетательному свойствам переставляем и группируем слагаемые: 38 + 57 + 62 = (38 + 62) + 57.
3. Сначала вычисляем сумму в скобках: (38 + 62) + 57 = 100 + 57 = 157.

Ответ: 157.

Задача 2. Вычислите 25 · 17 · 4.

1. Множители 25 и 4 удобно поставить рядом, потому что их произведение равно 100.
2. Переставляем множители и меняем группировку: 25 · 17 · 4 = (25 · 4) · 17.
3. Выполняем сначала удобное умножение: (25 · 4) · 17 = 100 · 17 = 1700.

Ответ: 1700.

Задача 3. Упростите выражение 6(2x − 3) − 4(x − 5).

1. Раскрываем первую скобку: 6(2x − 3) = 12x − 18.
2. Во второй части перед скобками стоит −4, поэтому умножаем −4 на каждый член: −4(x − 5) = −4x + 20.
3. Получаем 12x − 18 − 4x + 20 и объединяем подобные слагаемые: 12x − 4x = 8x, а −18 + 20 = 2.

Итак, 6(2x − 3) − 4(x − 5) = 8x + 2. Ответ: 8x + 2.

Типичные ошибки

Ошибка: менять местами числа при вычитании, как при сложении. Так делают из-за похожей записи действий, но 8 − 3 и 3 − 8 не равны. Представьте вычитание как сложение с противоположным числом и переставляйте только слагаемые.

Ошибка: при раскрытии скобок умножать внешний множитель только на первое слагаемое. Причина — скобки воспринимаются как один отдельный член, хотя внутри них находится сумма или разность. Проверьте, что множитель умножен на каждый член скобок.

Ошибка: считать, что у нуля есть обратное число. Число, умноженное на 0, всегда даёт 0, а не 1. Перед использованием записи 1/a убедитесь, что a ≠ 0.

Ошибка: путать противоположное и обратное числа. Для противоположного числа сумма равна нулю, а для обратного произведение равно единице. Проверяйте нужное равенство: a + (−a) = 0 или a · 1/a = 1.

Связь с другими темами

До изучения свойств нужно уметь выполнять действия с натуральными, целыми и рациональными числами. Также понадобятся правила действий с положительными и отрицательными числами, особенно при сложении и умножении чисел разных знаков.

Эти свойства используются при упрощении буквенных выражений, раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых. В дальнейшем они помогут преобразовывать равенства и решать уравнения более коротким способом.

Что запомнить

• Слагаемые и множители можно переставлять.
• Слагаемые и множители можно группировать по-разному.
• Умножение распределяется относительно сложения и вычитания.
• Прибавление нуля не меняет число.
• Умножение на единицу не меняет число, а умножение на ноль даёт ноль.
• Противоположные числа в сумме дают ноль.
• Обратное число определено только для ненулевого числа.