"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Приближённые значения нужны, когда точное число трудно или невозможно получить: например, при измерении длины или вычислении с бесконечной десятичной дробью. Вместо точного значения используют близкое число и записывают его со знаком ≈. Чтобы оценить, насколько такое число отличается от точного, находят абсолютную или относительную погрешность. Округление помогает записать результат с нужной точностью, а знание разряда округления позволяет определить границы, между которыми находится точное значение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Приближённое значение числа — число, близкое к точному значению и используемое вместо него в вычислениях. Например, при записи 12,68 ≈ 12,7 точное значение заменяют более коротким. Это удобно, если точное число неизвестно или его запись слишком длинная.
Знак приближённого равенства — обозначение ≈, показывающее, что два числа близки, но не обязательно равны. Запись 12,68 ≈ 12,7 означает, что числа отличаются, хотя их значения близки. Знак помогает не путать точный результат с округлённым.
Абсолютная погрешность — модуль разности между точным и приближённым значениями числа: Δ = |x − a|, где x — точное значение, а a — приближённое. Модуль нужен, чтобы результат не зависел от того, какое число вычитают из какого. Так узнают, насколько велика ошибка в единицах измерения.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: δ = Δ/|x|. Её часто выражают в процентах, умножая результат на 100%. Она показывает, насколько заметна ошибка по сравнению с самой величиной, и помогает сравнивать разные приближения.
Точные значения не всегда удаётся узнать до конца. При измерении длины результат ограничен точностью линейки, а при вычислениях могут появиться длинные десятичные дроби. Поэтому записывают близкое число, с которым проще считать. Но замена может внести ошибку, и её величину нужно учитывать.
Знак ≈ ставят потому, что округлённое число обычно не совпадает с исходным. Например, 37,846 ≈ 37,8, но 37,846 = 37,8 — неверно. Знак ≈ предупреждает читающего: результат дан не точно, а с некоторой точностью. Чем больше разрядов оставлено, тем ближе обычно приближение к исходному числу.
Округление выполняют в два шага: сначала находят разряд, до которого нужно оставить число, затем смотрят на цифру справа от него. Если эта цифра меньше 5, последнюю сохраняемую цифру оставляют без изменения. Если она равна 5 или больше, эту цифру увеличивают на единицу. Остальные цифры после нужного разряда отбрасывают.
Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и сама величина: ошибка в длине — в метрах или сантиметрах. Но одинаковая ошибка может быть существенной для маленькой величины и почти незаметной для большой. Относительная погрешность учитывает размер точного значения, поэтому позволяет сравнивать точность разных измерений. Чем она меньше, тем точнее приближение относительно исходной величины.
Округление до заданного разряда означает, что отброшенная часть числа была меньше половины единицы этого разряда или не меньше неё — именно по этому признаку выбирают результат. Поэтому точное значение находится не дальше половины такой единицы от округлённого. Например, при округлении до десятых половина единицы разряда равна 0,05. Для результата 12,7 точное значение находится от 12,65 включительно до 12,75 не включительно при обычном округлении.
| Понятие | Обозначение или формула | Как находят | Что показывает | Пример |
|---|---|---|---|---|
| Приближённое значение | a | Заменяют точное число близким | Используемое вместо точного число | 12,68 ≈ 12,7 |
| Приближённое равенство | ≈ | Ставят между близкими, но не равными числами | Числа близки, равенство неточное | 37,846 ≈ 37,8 |
| Абсолютная погрешность | Δ = |x − a| | Вычитают значения и берут модуль | Величину ошибки в единицах измерения | |12,68 − 12,7| = 0,02 |
| Относительная погрешность | δ = Δ/|x| | Делят абсолютную погрешность на точное значение | Долю ошибки от точного значения | 0,02/12,68 ≈ 0,16% |
| Округление до заданного разряда | По следующей цифре | Если она меньше 5 — не меняют; если не меньше 5 — увеличивают разряд на 1 | Приближённое число нужной точности | 37,846 ≈ 37,85 до сотых |
В таблице x обозначает точное значение, а a — приближённое. Сначала определите, что требуется найти: само приближение или величину ошибки. Для сравнения измерений используйте относительную погрешность, а для проверки округления — правило следующей цифры.
Сначала для каждого результата найдём сохраняемый разряд, а затем посмотрим на цифру сразу справа от него. Она решает, нужно ли увеличить сохраняемую цифру. Все вычисления выполняем отдельно, потому что требуемый разряд в каждом случае разный.
Ответ: до десятых — 37,8; до сотых — 37,85; до единиц — 38.
Здесь точное значение x = 12,68, а приближённое a = 12,7. Чтобы найти абсолютную погрешность, вычислим модуль разности. Для границ используем то, что округление выполнено до десятых: половина единицы этого разряда равна 0,05.
Ответ: абсолютная погрешность равна 0,02; границы точного значения — 12,65 ≤ x < 12,75.
Абсолютная ошибка в первом измерении равна 0,03 м, а во втором — 3 г. Эти числа нельзя сравнить напрямую: измеряются разные величины и используются разные единицы. Поэтому найдём относительную погрешность каждого измерения, разделив ошибку на точное значение.
Ответ: относительные погрешности обоих измерений примерно равны 1,23%; их точность одинакова.
Если вместо ≈ поставить =, получится утверждение о точном равенстве, которого обычно нет. Так делают, когда не различают исходное число и его округлённую запись. Проверьте себя: сравните числа до записи — если они различаются, используйте ≈.
При округлении нельзя увеличивать сохраняемый разряд, если следующая цифра меньше 5. Ошибка часто возникает, когда смотрят на число целиком, а не на цифру сразу после нужного разряда. Найдите эту цифру отдельно: например, при округлении 37,846 до десятых следующая цифра — 4, поэтому результат 37,8.
Абсолютную погрешность нельзя оставлять отрицательной: она показывает величину отклонения, а не его направление. Отрицательный ответ появляется, если вычесть приближённое число из точного и забыть модуль. Для проверки переставьте числа местами: величина ошибки должна остаться той же.
Сравнивать разные измерения только по абсолютной погрешности ненадёжно: ошибка 3 может быть большой для маленькой величины и незначительной для большой. Такой способ не учитывает масштаб измеряемых чисел. Найдите относительную погрешность каждого результата и сравните полученные доли или проценты.
Чтобы округлять числа, нужно знать десятичную запись и разряды: единицы, десятые, сотые и другие. Эти навыки помогают выбрать нужную цифру и правильно прочитать результат. Понятие приближения пригодится при обработке измерений и вычислениях, когда исходные данные заданы не точно.
Погрешности встречаются не только в алгебре. В геометрии и физике измеряют длины, массы и другие величины, а в статистике и экспериментах оценивают результаты наблюдений. Относительная погрешность позволяет сравнивать точность результатов, полученных в разных условиях.
Почему между приближёнными числами ставят знак ≈, а не знак =?
Знак = означает, что значения точно равны. Приближённое значение только близко к точному, поэтому для него используют знак ≈. Например, 12,68 ≈ 12,7.
Как понять, до какого разряда нужно округлять число?
Это зависит от требуемой точности или условия задачи: могут попросить округлить до десятых, сотых или единиц. Название разряда показывает, какую цифру оставить последней. Затем нужно посмотреть на следующую цифру.
Почему абсолютная погрешность не может быть отрицательной?
Её находят как модуль разности точного и приближённого значений, а модуль числа неотрицателен. Погрешность показывает величину ошибки, а не направление отклонения.
Чем относительная погрешность отличается от абсолютной?
Абсолютная погрешность показывает ошибку в тех же единицах, что и измеряемая величина. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения; её часто выражают в процентах. Она помогает сравнить точность чисел разного масштаба.
Как определить границы точного значения по результату округления?
При округлении до десятых точное значение отличается от округлённого не более чем на 0,05. Поэтому для результата 12,7 получаем границы от 12,65 до 12,75; при обычном округлении верхняя граница не включается. Для другого разряда используют половину его единицы.
3.5. Приближения чисел
