"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Длина отрезка показывает, насколько далеко друг от друга расположены его концы, поэтому с её помощью можно сравнивать расстояния и решать геометрические задачи. Если точки лежат на координатной прямой, достаточно найти модуль разности их координат. На плоскости для горизонтального или вертикального отрезка сравнивают одну координату, а для наклонного используют теорему Пифагора. В любом случае длина неотрицательна и не зависит от того, в каком порядке названы концы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Длина отрезка — положительное число, показывающее расстояние между его концами. Если обозначить концы буквами A и B, длину записывают как AB. Это число позволяет сравнивать отрезки и измерять, насколько далеко друг от друга находятся точки.
Расстояние между точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Модуль числа — это расстояние от него до нуля, поэтому он не бывает отрицательным. Такое правило удобно, когда точки расположены по одну или разные стороны от нуля.
Расстояние между точками на координатной плоскости — длина отрезка, соединяющего эти точки. Плоскость задаётся двумя осями, поэтому положение каждой точки описывают парой чисел. Это определение помогает перейти от изображения к вычислениям по координатам.
Координаты концов отрезка — числа, по которым определяется положение его концов и вычисляется длина. На прямой у точки одна координата, а на плоскости две: абсцисса x и ордината y. Сравнение нужных координат показывает, какой способ вычисления выбрать.
На координатной прямой расстояние между точками зависит от того, насколько далеко они разнесены, а не от направления движения от первой точки ко второй. Если из координаты первой точки вычесть координату второй, результат может оказаться отрицательным: например, при движении от 7 к −4. Поэтому длину находят как модуль разности координат: |x₂ − x₁|. Модуль оставляет величину расстояния и убирает только знак.
На плоскости горизонтальный отрезок параллелен оси абсцисс, поэтому у его концов одинаковые ординаты. Меняется только положение по горизонтали, то есть абсцисса, и длина равна модулю разности абсцисс. Для вертикального отрезка, наоборот, абсциссы совпадают, а меняются ординаты. Поэтому в этом случае берут модуль разности вторых координат.
Если отрезок наклонный, можно достроить его до прямоугольного треугольника. Через один конец проводят горизонтальный, а через другой вертикальный отрезок до их пересечения; исходный отрезок окажется гипотенузой — стороной напротив прямого угла. Такой треугольник удобен тем, что длины его катетов можно найти по изменениям абсцисс и ординат.
Обозначим разность абсцисс через x₂ − x₁, а разность ординат через y₂ − y₁. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины |x₂ − x₁| и |y₂ − y₁|. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому длина отрезка равна √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Квадраты можно записать без модулей: возведение в квадрат убирает знак.
Порядок концов не влияет на результат, потому что длина — свойство самого отрезка, а не направление от одной точки к другой. При перестановке точек разность меняет знак, но её модуль остаётся прежним, а квадрат вообще не меняется. Поэтому расстояние всегда неотрицательно; оно равно нулю только тогда, когда обе координаты концов совпадают.
Сначала сравните координаты концов и определите расположение отрезка. Затем выберите строку таблицы и подставьте координаты в нужную формулу. Если совпадают обе координаты, длина равна нулю.
| Расположение концов отрезка | Координаты концов | Формула длины | Что используется |
|---|---|---|---|
| Точки на координатной прямой | x₁ и x₂ | |x₂ − x₁| | Модуль разности координат |
| Горизонтальный отрезок на координатной плоскости | A(x₁; y), B(x₂; y) | |x₂ − x₁| | Разность абсцисс |
| Вертикальный отрезок на координатной плоскости | A(x; y₁), B(x; y₂) | |y₂ − y₁| | Разность ординат |
| Произвольный отрезок на координатной плоскости | A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) | √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | Теорема Пифагора |
| Совпадающие точки | A(x; y), B(x; y) | 0 | Обе разности координат равны нулю |
Задача 1. На координатной прямой отмечены точки A(−4) и B(7). Найдите длину отрезка AB.
Ответ: 11.
Задача 2. Найдите длину отрезка с концами A(−3; 5) и B(4; 5).
Ответ: 7.
Задача 3. Найдите расстояние между точками A(−2; 1) и B(4; 9).
Ответ: 10.
Если на прямой вычислить координату одной точки минус координату другой и не взять модуль, можно получить отрицательное число. Так происходит потому, что вычитание зависит от выбранного порядка, а расстояние — нет. После вычисления проверьте знак ответа: длина не может быть отрицательной. Запись |x₂ − x₁| сразу помогает избежать этой ошибки.
Иногда для горизонтального отрезка вычитают ординаты, а для вертикального — абсциссы. Причина в том, что забывают: горизонтальное направление связано с осью x, а вертикальное — с осью y. Проверьте, какая координата у концов совпадает: её разность равна нулю, а длину находят по изменяющейся координате. Это быстро показывает, что именно нужно вычитать.
Для наклонного отрезка нельзя просто сложить разности координат или их модули. Такое сложение даёт путь сначала по горизонтали, затем по вертикали, а не длину прямого отрезка между точками. Используйте теорему Пифагора: сложите квадраты двух разностей, затем извлеките корень. Проверка по прямоугольному треугольнику помогает не перепутать искомую величину с суммой катетов.
В формуле для наклонного отрезка иногда забывают возвести разности в квадрат или извлечь квадратный корень в конце. Тогда вместо длины гипотенузы получают неверное выражение или её квадрат. Запишите порядок действий: найти разности, возвести их в квадрат, сложить и извлечь корень. Подстановка полученного ответа обратно в теорему Пифагора поможет проверить вычисление.
Чтобы находить длину отрезка, нужно уметь отмечать числа на координатной прямой и задавать точки парой координат на плоскости. Также пригодятся модуль числа, который позволяет получить неотрицательную разность, и теорема Пифагора для прямоугольного треугольника. В дальнейшем расстояния между точками помогут исследовать графики и решать задачи в координатах. Например, координаты позволяют вычислять расстояние, даже если точки заданы числами, а не изображены на чертеже.
Почему длину отрезка нужно записывать с модулем?
Разность координат может быть отрицательной, если поменять порядок вычитания. Модуль делает результат неотрицательным, как и должна быть длина.
Можно ли вычитать координаты концов в любом порядке?
Да: можно вычесть координату одной точки из координаты другой. При смене порядка меняется только знак разности, а модуль или квадрат разности остаётся прежним.
Как понять, какую координату использовать?
Для горизонтального отрезка ординаты одинаковы, поэтому вычитают абсциссы — первые координаты. Для вертикального отрезка одинаковы абсциссы, поэтому вычитают ординаты — вторые координаты.
Почему для произвольного отрезка применяется теорема Пифагора?
Разности абсцисс и ординат дают длины горизонтального и вертикального катетов прямоугольного треугольника. Искомый отрезок становится его гипотенузой, поэтому длину находят по теореме Пифагора.
Что делать, если у двух точек совпадают одна или обе координаты?
Если совпадают первые координаты, отрезок вертикальный: найдите модуль разности вторых координат. Если совпадают вторые, отрезок горизонтальный: найдите модуль разности первых координат. Если совпадают обе координаты, точки совпадают и расстояние равно нулю.
3.6. Длина отрезка
