3.7. Координатная ось

Определения и обозначения

Координатная ось — прямая с отмеченными началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Эти элементы превращают обычную прямую в удобную шкалу чисел. По ней можно отмечать числа и сравнивать их положения.

Начало отсчёта — точка O, которой соответствует число 0. От неё откладывают все остальные координаты влево или вправо. Без выбранной начальной точки нельзя однозначно сказать, где находится число.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принимается за единицу измерения на координатной оси. Он задаёт шаг между соседними целыми числами. Его длина может быть любой, например 1 см или 2 см, но на одной оси она должна оставаться постоянной.

Координата точки — число, показывающее положение точки относительно начала отсчёта, единичного отрезка и направления оси. Точку с координатой a записывают как A(a). По координате можно восстановить положение точки и выполнить вычисления с расстояниями.

Как это устроено

Сначала на прямой выбирают точку O и называют её началом отсчёта. Затем выбирают точку E так, чтобы отрезок OE стал единичным, то есть его длину приняли за 1. Наконец, стрелкой задают положительное направление: в эту сторону координаты будут возрастать.

После такого выбора вся ось разбивается на равные единичные отрезки. Если двигаться от O в положительном направлении, числа увеличиваются: 0, 1, 2, 3 и так далее. В противоположную сторону числа уменьшаются: −1, −2, −3, поэтому каждой точке можно сопоставить число по числу пройденных отрезков и направлению движения.

Единственность координаты объясняется тем, что для каждой точки задано одно положение относительно O и выбранного масштаба. Нельзя одной и той же точке приписать два разных числа, ведь расстояние до O и направление уже определены. Обратно, заданное число задаёт единственное количество единичных отрезков и конкретное направление, поэтому ему соответствует одна точка.

Знак координаты определяют по стороне от начала отсчёта: справа при положительном направлении находятся положительные числа, а слева — отрицательные. Число единичных отрезков показывает величину координаты, то есть её модуль. Например, точка на три отрезка левее O имеет координату −3, а на три отрезка правее — координату 3.

Чтобы отметить точку с заданной координатой, сначала находят O и единичный отрезок. Затем откладывают нужное число таких отрезков влево или вправо, не забывая о знаке. Чтобы прочитать координату уже отмеченной точки, считают отрезки от O до точки и ставят знак выбранного направления.

Положение точек сравнивают по их координатам: точка с большей координатой расположена правее. Расстояние между точками не зависит от того, какая из них левее, поэтому используют модуль разности координат. Для точек A(a) и B(b) оно равно |a − b|, что всегда даёт неотрицательное число.

Элементы координатной оси и их роль

Таблицу удобно использовать как памятку при построении и чтении координатной оси. Сначала найдите O и единичный отрезок, затем определите направление стрелки. Для расстояния сразу применяйте модуль разности координат.

Разбор задач

Задача 1

На оси отмечены начало отсчёта O и единичная точка E. Точка A находится на 4 единичных отрезка правее O, а точка B — на 3 единичных отрезка левее O. Требуется назвать координаты A и B.

1. Справа от O расположено положительное направление, поэтому координата A будет положительной.
2. От O до A нужно отсчитать 4 единичных отрезка, значит, координата A равна 4.
3. Точка B находится слева от O, поэтому её координата отрицательна; три отрезка дают число −3.

Ответ: A(4), B(−3).

Задача 2

Нужно построить точки C(−2,5), D(0) и E(3), если единичный отрезок имеет длину 2 см. Важно откладывать именно единичные отрезки, а не числовые значения в сантиметрах. Знак координаты определит сторону от начала отсчёта.

1. Отметьте O и отложите единичный отрезок длиной 2 см в положительном направлении.
2. Для C(−2,5) отложите 2,5 единичного отрезка влево, то есть расстояние 2,5 · 2 = 5 см.
3. Для D(0) оставьте точку O, а для E(3) отложите вправо 3 · 2 = 6 см.

Ответ: C расположена в 5 см слева от O, D совпадает с O, E расположена в 6 см справа от O.

Задача 3

Даны точки M(−3,2) и N(1,8). Нужно определить, какая точка правее, и найти расстояние между ними. Для положения сравним координаты, а для длины отрезка используем модуль разности.

1. Сравним числа: 1,8 больше, чем −3,2, поэтому N расположена правее M.
2. Вычислим разность координат: 1,8 − (−3,2) = 1,8 + 3,2 = 5.
3. Разность уже положительна, поэтому |1,8 − (−3,2)| = 5.

Ответ: правее расположена точка N; расстояние между M и N равно 5 единицам.

Типичные ошибки

Иногда отрицательную координату ставят справа от O, потому что путают направление записи чисел с расположением на рисунке. Правильную сторону задаёт стрелка положительного направления, а не привычное чтение слева направо. Проверьте себя: в сторону стрелки координаты должны возрастать.

Некоторые считают саму начальную точку отдельным единичным отрезком. Это неверно: отрезок находится между двумя соседними точками или делениями, а не в одной точке. Для проверки пересчитайте промежутки между делениями, начиная от O.

При чтении точки иногда записывают координату без знака или меняют его при движении слева направо. Знак определяется стороной относительно O, поэтому точка слева при обычном направлении вправо имеет отрицательную координату. Сначала назовите сторону, а потом укажите число единичных отрезков.

Расстояние между точками могут находить как обычную разность и получать отрицательный результат. Такой ответ невозможен, ведь длина не бывает меньше нуля. Используйте |a − b| или вычитайте меньшую координату из большей.

Связь с другими темами

До изучения координатной оси нужны положительные и отрицательные числа, модуль, сравнение чисел и умение измерять отрезки. Эти знания объясняют знак координаты, расстояние от начала отсчёта и порядок расположения точек. Без них трудно уверенно читать и строить ось.

Координатная ось станет основой для координатной плоскости. На плоскости используют сразу две взаимно перпендикулярные координатные оси, чтобы задавать положение точек двумя числами. Также ось помогает строить графики функций и решать уравнения и неравенства.

Координатная ось служит моделью числовой прямой. Она делает сравнение чисел наглядным: правее означает больше, левее — меньше. По ней также удобно видеть и вычислять расстояния между числами.

Что запомнить

• Координатная ось имеет начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление.
• Началу отсчёта O соответствует координата 0.
• Справа от начала отсчёта расположены положительные координаты, слева — отрицательные.
• Координата точки показывает её положение на оси.
• Чем правее точка на координатной оси, тем больше её координата.
• Расстояние между точками с координатами a и b равно |a − b|.
• Каждому числу соответствует единственная точка координатной оси.